Dichtefunktionen von Körpern

physicc · Anmeldungsdatum: 05.01.2014 Beiträge: 8

Meine Frage:
Um den Schwerpunkt mittels Integral zu bestimmen wird immer die Dichtefunktion benötigt. Wie kommt man auf die?

Meine Ideen:
Beim Zylinder mit z als Drehachse benutzten wir als Dichte x^2.
und beim dreieckigem Prisma x*y.
Gibt es dazu ein bestimmtes vorgehen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Ich verstehe nicht, was du mit "Dichte" meinst.

Für einen Körper der Masse M mit homogener Dichte rho und Volumen V haben wir

Im Falle inhomogener Dichte gilt

Das Volumenintegral ist dabei über das Volumen V des Körpers zu nehmen.

Ich verstehe nun nicht, was diese Dichte mit einem Prisma oder einem Zylinder zu tun haben soll; sie kann doch unabhängig von der geometrischen Form vorgegeben werden.

Oder meinst du das Volumenelement im Integral?

In kartesischen Koordinaten lautet dies

in Kugelkoordinaten

Das Volumenelement ermittelst du mittels der Jacobi-Determinante: du gehst aus von Koordinaten mit bekannten Volumenelemenet (z.B. kartesische Koordinaten); du stellst die neuen Koordinaten als Funktionen der alten Koordinaten dar; du berechnest die Jacobi-Determinante dieser Koordinatentransformation; du berechnest damit das Volumenelement, dargestellt in den neuen Koordinaten.

https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionaldeterminante

physicc · Anmeldungsdatum: 05.01.2014 Beiträge: 8

beim Zylinder lautete die Aufgabe:
Berechnen Sie den Schwerpunkt eines Zylinders (konstante Dichte rho, Radius R und Höhe H), der auf der x-y-Ebene steht und dessen Drehachse die z-Achse ist. Hinweis:Verwende Sie kartesische oder Zylinderkoordinaten.

Auf die Lösung bin ich dann gekommen indem ich

mit x=r*cos(phi)

berechnet habe
und dann

aus der Formel, welche du genannt hast, mit eben

aber woher kommt es, dass ich für rho=x^2 verwenden muss?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Für den Schwerpunkt des homogenen senkrechten Kreiszylinders braucht man keine Berechnung, der ist (aus Symmetriegründen) schlicht in der Mitte.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

@physicc: deine Rechnung sieht nicht vernünftig aus.

Masse und Massenmittelpunkt sind definiert gemäß

Da die Dichte konstant ist, habe ich sie explizit aus dem Integral herausgezogen.

Schauen wir uns exemplarisch die x-Komponente an. Du kannst sofort einsetzen, nämlich in kartesischen Koordinaten

oder in Zylinderkoordinaten

Woher sollen denn deine höheren Potnzen wird x^2 oder r^4 kommen?