Impuls rechter Winkel komisch

Code123 · Anmeldungsdatum: 25.05.2017 Beiträge: 29

Hallo, liebes Physikerforum,

ich sitze grade an einer Aufgabe zur Impulserhaltung und es sollte eigentlich easy sein, aber ich bin irgendwie zu dumm dafür-.-
Die Aufgabe ist, zu zeigen, dass bei einem nicht zentralen elastischen Stoß zweier gleicher Punktmassen die Ablenkungsvektoren im rechten Winkel stehen.
Es gilt die Erhaltung der kinetischen Energie, das führt zu V1 = V1' + V2'
außerdem haben wir Impulserhaltung in x: V1 = V1' cos(µ1) + V2' cos(µ2) und in y: 0 = V1' sin(µ1) - V2' sin(µ2).

Ich weiß nicht so richtig wie ich die Aufgabe beginnen soll. Essentiell muss ich ja jetzt ohne einen Zahlenwert zu verwenden, eine Bedingung für einen rechten Winkel aufstellen. Zwischen Sinus und Cosinus liegt eine Verschiebung von 90°, aber das hilft mir hier auch irgendwie nicht... keine Ahnung :/ ziemlich nervig, kann doch nicht so schwer sein...

Danke im Voraus

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Ich nehme an, dass Du bei der Gleichung für die Energieerhaltung die Quadrate vergessen hast.

Tipp: Schreibe die Gleichungen vektoriell und quadriere diejenige für die Impulserhaltung, dann siehst Du den rechten Winkel sofort.

PS: Oder ausgehend von Deinen Gleichungen für den Impuls: quadriere die Gleichungen und addiere sie. Zusammen mit der Gleichung der Energieerhaltung und einer geeigneten Formel aus der Trigonometrie ergibt sich, dass der Cosinus der Winkelsumme gleich null sein muss.

Code123 · Anmeldungsdatum: 25.05.2017 Beiträge: 29

Ich habe die Gleichung jetzt quadriert und nach V1' umgeformt. Dann habe ich die Gleichung (sin(µ))^2 + (cos(µ))^2 = 1 angewandt und die Energieerhaltung angewandt. Und nach V1' wieder umgeformt. Ich bin auf folgendes gekommen:

V1' = V1 cos(µ)

Ich bin mir nicht sicher, wie ich jetzt das auf eine Winkelbeziehung beziehen kann, ohne bei V1 konkrete Zahlen einzufügen und einen Winkel.
Ich habe jetzt für V1 5 m/s eingesetzt und für den einen Winkel -30° eingesetzt. Energieerhaltung, um Skalare zu bestimmen, Impulserhaltung, arcsin und ich habe für den zweiten Winkel 60° gefunden, also einen rechten Winkel, aber ein Beweis ist das ja nicht grade^^

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Nein, mit konkreten (Gegen-)Beispielen kann man allenfalls zeigen, dass eine Behauptung nicht richtig ist. Hier aber ist allgemein zu zeigen, dass v1' und v2' senkrecht aufeinander stehen.

Gehen wir nochmals aus von den Gleichungen für Energie und Impulserhaltung (in Deiner Notation; dabei ist der Winkel einmal im positiven Sinn, einmal im negativen Sinn zur Einfallsrichtung gemessen):

Quadriert man die 2. und die 3. Gleichung und addiert sie, ergibt sich

Nach Subtraktion der 1. Gleichung ergibt sich eine Bedingung für die Winkel:

Nun wie erwähnt noch eine trigonometrische Formel benutzen, und es folgt

.

Wie gesagt, einfacher ginge es in vektorieller Schreibweise. Quadriert man die Gleichung für die Impulserhaltung, folgt

Nach Subtraktion der Gleichung für die Energieerhaltung ergibt sich

, was nur gilt, wenn v_1' und v_2' senkrecht aufeinander stehen.

Code123 · Anmeldungsdatum: 25.05.2017 Beiträge: 29

Das ist ja genial, vielen Dank! smile

Code123 · Anmeldungsdatum: 25.05.2017 Beiträge: 29

Ich denke mal die Lösung ist das Additionstheorem, mit
cos(x-y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)

Und Cosinus wird immer bei 90° Null:

cos(30° - (-60°)) = cos(90°) = 0
cos(15° - (105°)) = - 90° = 0

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Code123 · Anmeldungsdatum: 25.05.2017 Beiträge: 29

Aber dann wäre doch zB bei 30° und -60°

cos(x+y) = cos(30°-60°) = cos(-30°) /= 0

Oder blamiere ich mich grade in Mathe x)

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

In Deinem ersten Beitrag hast Du geschrieben, dass für die Impulserhaltung in y-Richtung 0 = v1' sin(µ1) - v2' sin(µ2) gelte. Ich hab später noch eigens darauf hingewiesen, dass Du damit den Winkel einmal im positiven Sinn und einmal im negativen Sinn zur Einfallsrichtung gemessen hast. Das ist eher inkonsequent.

Wenn die Winkel nach dem Stoss 30° und -60° sind, wurden beide Winkel im gleichen Sinn gemessen. Dann lautet aber die obige Gleichung für die Impulserhaltung 0 = v1' sin(µ1)+v2' sin(µ2).

Rechnet man völlig analog weiter wie oben, ergibt sich für die beiden Winkel die Bedingung

0=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y) oder 0=cos(x-y)

Damit sollte alles wieder stimmen.

Code123 · Anmeldungsdatum: 25.05.2017 Beiträge: 29

Ah, ok, danke smile