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Nachricht |
MaximH
Anmeldungsdatum: 26.11.2017
Beiträge: 3
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 MaximH Verfasst am: 27. Nov 2017 13:08 Titel: Schwerpunkt eines inhomogenen Kegels |
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Meine Frage:
Hallo,
ich soll den Schwerpunkt eines Kegels mit veränderlicher Dichte bestimmen.
dabei ist die Dichtefunktion gegeben durch:
 = \varrho _{0} (1-\frac{z}{H} )) mit H=Höhe des Kegels
Meine Ideen:
Aus dem Skript ergibt sich als ein Ansatz für die Bestimmung des Schwerpunkts:
Die Masse habe ich bereits berechnet und ich weiß, dass ich die Rho-Funktion nach z Parametrisieren kann, da der Schwerpunkt sich auf der z-Achse befindet.
Ich müsste also nur über z integrieren.
Aber ich brauche Hilfe dabei, diese Ideen mit der Formel zu verbinden, um auf die Lösung zu kommen.
Vielen Dank schon mal!
LaTeX korrigiert und Tags ergänzt. Steffen |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6119
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 27. Nov 2017 14:09 Titel: |
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Ist die Dichtefunktion richtig?
Ist die Dichte eine Funktion von z oder r?
Nach Deiner Angabe ist die Dichte eine Funktion von z und nicht von r. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 27. Nov 2017 14:26 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | Ist die Dichtefunktion richtig?
Ist die Dichte eine Funktion von z oder r?
Nach Deiner Angabe ist die Dichte eine Funktion von z und nicht von r. |
So wie sie da steht, ist sie sicherlich nicht richtig. Da müsste sie schon ) und nicht ) heißen. Aber die Formel zur Bestimmung des Schwerpunktes kann abgesehen von der irreführenden Bezeichnung und der seltsamen Obergrenze schon dimensionsmäßig nicht stimmen. |
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MaximH
Anmeldungsdatum: 26.11.2017
Beiträge: 3
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| MaximH Verfasst am: 27. Nov 2017 14:54 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | Ist die Dichtefunktion richtig?
Ist die Dichte eine Funktion von z oder r?
Nach Deiner Angabe ist die Dichte eine Funktion von z und nicht von r. |
Um die Verwirrungen aufzuklären:
- Das "r" in der Dichtefunktion steht nicht für den Radius sondern ist der Vektor "r", also gibt die Funktion die Dichte in Abhängigkeit von der Position innerhalb des Koordinatensystems
- Die Formel zur Bestimmung des Schwerpunktsvektors ist ziemlich sicher richtig; ich habe sie 1 zu 1 aus meinem Skript übernommen
- Die Grenzen des Integrals sollen nur symbolisieren, dass über V integriert wird. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6119
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 27. Nov 2017 15:50 Titel: |
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| MaximH hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | Ist die Dichtefunktion richtig?
Ist die Dichte eine Funktion von z oder r?
Nach Deiner Angabe ist die Dichte eine Funktion von z und nicht von r. |
Um die Verwirrungen aufzuklären:
- Das "r" in der Dichtefunktion steht nicht für den Radius sondern ist der Vektor "r", also gibt die Funktion die Dichte in Abhängigkeit von der Position innerhalb des Koordinatensystems
- Die Formel zur Bestimmung des Schwerpunktsvektors ist ziemlich sicher richtig; ich habe sie 1 zu 1 aus meinem Skript übernommen
- Die Grenzen des Integrals sollen nur symbolisieren, dass über V integriert wird. |
D.h. die Dichte ist also
) ?
Der Hinweis von GvC ist berechtigt. Dass das Integral so in Deinem Skript steht, heisst nicht, dass es richtig ist. |
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yellowfur
Moderator
Anmeldungsdatum: 30.11.2008
Beiträge: 804
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| yellowfur Verfasst am: 27. Nov 2017 18:03 Titel: |
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Mathefix, gemeint ist ^T.) Die Abhängigkeit soll nur von der Höhe z abhängen, der Kegel müsste entlang z ausgerichtet sein, weil bei der Formel für Rho z/H steht, das ist einmal  bei z = 0 und einmal 0 für z = H. Das ist selbstverständlich keine Garantie, aber so würde ich die Angaben verstehen.
Ansonsten, wie schon gesagt, muss sich MaximH noch einmal über das Integral Gedanken machen.
_________________
Wenn du einen Traum hast, dann folge ihm. Wer weiß, wo er dich hinführen könnte. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6119
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 27. Nov 2017 18:49 Titel: |
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| yellowfur hat Folgendes geschrieben: | Mathefix, gemeint ist Die Abhängigkeit soll nur von der Höhe z abhängen, der Kegel müsste entlang z ausgerichtet sein, weil bei der Formel für Rho z/H steht, das ist einmal bei z = 0 und einmal 0 für z = H. Das ist selbstverständlich keine Garantie, aber so würde ich die Angaben verstehen.
Ansonsten, wie schon gesagt, muss sich MaximH noch einmal über das Integral Gedanken machen. |
Danke für Deinen Hinweis.
Bezugslinie = x-Achse
Dann gilt
 =\varrho_0\cdot (1-\frac{z}{H} ) )
 = r_0\cdot (1-\frac{z}{H} ))
^{2}\cdot \varrho(z) \,\cdot \dd z )
^{2}\cdot \varrho(z) \,\cdot z \cdot\dd z )
^{2}\cdot \varrho(z) \,\cdot z \cdot\dd z }{ \int_0^H \! r(z)^{2}\cdot \varrho(z) \,\cdot \dd z } )
Die Integrale zu lösen ist Handwerk. |
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