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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6119
Wohnort: jwd
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 Mathefix Verfasst am: 15. Dez 2017 13:36 Titel: Geschwindigkeitstest |
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Auf einer geraden Piste der Länge  soll die Geschwindigkeit eines Sportwagens getestet werden. Er beschleunigt im Mittel mit  und bremst mit der Verzögerung  .
Wie hoch darf die Maximalgeschwindigkeit  sein, um die höchste Durchschnittsgeschwindigkeit  zu erreichen? |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7462
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| Steffen Bühler Verfasst am: 15. Dez 2017 14:30 Titel: |
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Das ist mal ne nette Aufgabe!
Mein Ansatz:
Wir brauchen drei Zeiten,  zum Beschleunigen,  zum Bremsen,  für die Konstantfahrt. Der Weg geteilt durch die Summe dieser drei Zeiten ist die Durchschnittsgeschwindigkeit, die maximiert werden soll.
Beschleunigen und Bremsen ist leicht:
Die dritte Zeit tc ergibt sich aus dem Gesamtweg, abzüglich des Beschleunigungs- und Bremswegs, geteilt durch die Maximalgeschwindigkeit:
Nun die Durchschnittsgeschwindigkeit:
= \frac s {t_a + t_b + t_c})
Dann noch ableiten und nullsetzen. Einverstanden?
Viele Grüße
Steffen
Zuletzt bearbeitet von Steffen Bühler am 15. Dez 2017 17:34, insgesamt einmal bearbeitet |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6119
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 15. Dez 2017 14:44 Titel: |
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Einverstanden. Man kann auch T = ta-+t_b+t_c minimieren.
Vielen Dank!
Ableiten: easy
Der schwierige Teil liegt jetzt noch vor Dir.
Nullsetzen und lösen  |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7462
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| Steffen Bühler Verfasst am: 15. Dez 2017 14:52 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Nullsetzen und lösen |
Ja, das hat mein PC netterweise erledigt. (Wobei es so schwierig auch nicht ist, wenn man Deinen Ansatz der Zeitminimierung nimmt.)
Aber man glaubt gar nicht, dass eine so einfach klingende Aufgabe solch eine komplizierte Lösung ergibt. |
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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 1023
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| Frankx Verfasst am: 15. Dez 2017 15:04 Titel: |
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| Zitat: | | Man glaubt gar nicht, dass so eine einfache Aufgabe solch eine komplizierte Lösung ergibt. |
Ohne das gerechnet zu haben, sollte imho die Fahrt nur aus Beschleunigung und anschließender Verzögerung (Abbremsen) bestehen, also keinen Bereich konstanter Geschwindigkeit beinhalten.
Das würde auch die Berechnung der maximalen Geschwindigkeit und der Durchschnittsgeschwindigkeit entsprechend vereinfachen.
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7462
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| Steffen Bühler Verfasst am: 15. Dez 2017 15:10 Titel: |
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| Frankx hat Folgendes geschrieben: | | keinen Bereich konstanter Geschwindigkeit beinhalten. |
Das hatte ich kurz auch überlegt. Aber es ist nicht unbedingt richtig, fürchte ich: rauf und gleich wieder runter ergibt ja einen relativ geringen Durchschnitt.
Edit: oh, andererseits ist dann die Zeit in der Tat minimiert. Hm, hätte ich also meinen ersten Gedanken doch nicht verwerfen sollen? Na egal, das Rechnen hat auch Spaß gemacht.
Edit2: sicherheitshalber hab ich dann doch die ermittelte optimale Maximalgeschwindigkeit in die Formel für tc eingesetzt. Siehe da, es löst sich zu Null auf... |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6119
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 15. Dez 2017 18:13 Titel: |
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| Steffen Bühler hat Folgendes geschrieben: | | Frankx hat Folgendes geschrieben: | | keinen Bereich konstanter Geschwindigkeit beinhalten. |
Das hatte ich kurz auch überlegt. Aber es ist nicht unbedingt richtig, fürchte ich: rauf und gleich wieder runter ergibt ja einen relativ geringen Durchschnitt.
Edit: oh, andererseits ist dann die Zeit in der Tat minimiert. Hm, hätte ich also meinen ersten Gedanken doch nicht verwerfen sollen? Na egal, das Rechnen hat auch Spaß gemacht.
Edit2: sicherheitshalber hab ich dann doch die ermittelte optimale Maximalgeschwindigkeit in die Formel für tc eingesetzt. Siehe da, es löst sich zu Null auf... |
Falls ich mich nicht verrechnet habe
Solange Gummi geben und dann voll in die Eisen - und dann an der Ampel warten ... |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 6202
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| Myon Verfasst am: 15. Dez 2017 18:59 Titel: |
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Dass eine Fahrweise mit maximaler Durchschnittsgeschwindigkeit unmöglich eine Strecke mit konstanter Geschwindigkeit enthalten kann, kann man sich einfach klar machen:
Angenommen, es wird eine Teilstrecke mit konstanter Geschwindigkeit gefahren. Dann kann man die Durchschnittsgeschwindigkeit ganz einfach dadurch erhöhen, indem man auf dieser Teilstrecke kurz beschleunigt und dann wieder abbremst auf die ursprüngliche Geschwindigkeit. Somit kann eine solche Fahrweise unmöglich eine Lösung des Maximierungsproblems sein. |
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