Beschleunigung der Gravitation in s(t) - Diagramm

Feeder · Anmeldungsdatum: 05.04.2015 Beiträge: 142

Hey,

ich bin momentan in der Oberstufe, dort rechnen wir momentan an Kreisbewegungen. Ich bin auf die Idee gekommen, dass die Planeten die um die Sonne kreisen ja eben auch nach annähernd nach selben Gesetzen handeln müssen.

Jedoch stellte mir folgende Frage; und in Physik behandeln wir Schwerkraft nicht so ausführlich, wie ich eine Beschleunigung (die Abhänig ist vom Abstand r zweier Körper) in Bewegungsgleichungen einsetze.

Gegeben sei ein Körper mit der Masse m0 der von einen Körper mit der Masse m1 angezogen wird. Der Körper m2 ist um ein vielfaches schwerer als m1 und die wird von m1 nicht nennenswert beeiflusst.

Der Körper m0 "fliegt" im Vakkum durch den Raum mit der Geschwindigkeit v0, sein Anfangsabstand ist s

Nun meine genauen Fragen:

Theroretisch sollte diese Gleichung doch s (Abstand zum KOS, Abstand zu m1)
korrekt beschreiben:

Aber wie löse ich r(t) ?
Und wie bringe ich die Formel in Vektorschreibweise?

Ich habe dazu schon in meiner Freizeit ein Computerprogramm entwickelt, was soetwas simulierte, leider habe ich keine Ahnung wie ich eine explizite Formel dazu rekonstruiere.

MfG
Niclas

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Das funktioniert nicht durch einfache Integration, sondern i.A. über die Lösung einer Differentialgleichung (die ihr an der Schule nur für Ausnahmefälle kennenlernt).

Deine Notation passt außerdem nicht; du müsstest im Integral zwei verschiedene Integrationsvariable t' und t'' einführen. Da die unbekannte Funktion x(t) jedoch als x(t'') auch unter dem Integral steht, führt der Ansatz zu nichts.

Bei einem allgemeinen Ansatz gehst du von

aus.

Die Kraft F ist in einem deinem Fall eine Funktion des Ortes x. Die Beschleunigung a entspricht der zweiten Ableitung des Ortes x nach der Zeit t. Demnach lautet die Gleichung

Diese Differentialgleichung zweiter Ordnung ist für allgemeine Kräfte F[x] recht schwierig zu lösen. Du kannst es mal für den einfachen Fall einer Feder mit

ausprobieren.

Häufig - und so auch im vorliegenden Fall - geht man einen anderen Weg. Wenn die Gesamtenergie

erhalten ist, dann folgt sofort

wobei E nur eine Konstante ist. Der Vorteil dieser Differentialgleichung ist, dass sie erster Ordnung ist, d.h. dass sie nur eine Zeitableitung von x enthält.

Die Lösung ist mittels Trennung der Variablen und direkter Integration möglich. Du schreibst

löst nach

auf - rechts steht ein Ausdruck, der nur noch von x abhängt - und integrierst formal

Das rechte Integral ist meist ebenfalls kompliziert, kann aber Integraltabellen entnommen werden.

Daraus folgt letztlich t als Funktion von x

d.h. ganz zuletzt musst du noch nach x als Funktion von t

umstellen.

Feeder · Anmeldungsdatum: 05.04.2015 Beiträge: 142

Das ist wunderschön , hört sich aber auch ziemlich schweirig an Big Laugh

Ich werde es bei Gelegenheit auf jeden Fall mal lösen.

Vielen Dank!!!