Drehimpuls- und E-Erhaltung bei Rotation einer Punktmasse

mortyc137 · Anmeldungsdatum: 24.08.2016 Beiträge: 5

Hallo, liebe Community!

Ein scheinbar einfaches Problem bereitet mir gerade Kopfzerbrechen - konkret geht es darum, wie der Drehimpuls L und die mechanische Energie/Rotationsenergie E bei der Rotation einer Punktmasse erhalten bleiben, wenn der Radius verkürzt wird.

Aufgabe a) wie folgt: Eine Punktmasse der Masse

hänge an einem idealen Seil, das reibungsfrei durch ein Loch in einer horizontalen Tischplatte geführt wird. Die Punktmasse bewege sich zunächst reibungsfrei mit

auf einer horizontalen Kreisbahn auf der Tischplatte. Nun wird mit konstanter Kraft

an dem durch das Loch hängenden Seil gezogen.

b): Wieder kreise dieselbe Punktmasse auf der horizontalen Tischplatte, nun wickelt sich das Seil jedoch um einen Pfosten, wodurch sich ebenfalls der Radius der Kreisbahn verkürzt.

Im Tipler wird nun so argumentiert, dass in Aufgabe a) der Drehimpuls erhalten bleibt, da es kein äußeres Drehmoment gibt (die Zugkraft, die das Seil ausübt, ist eine Zentralkraft, wirkt also radial, und verursacht daher kein Drehmoment).

Bei Aufgabe b) wird jedoch ohne weitere Begründung argumentiert, dass bei dieser Anordnung, anders als in Aufgabe a) keine Arbeit an der Punktmasse verrichtet wird, weshalb die Energie erhalten bleiben muss. Infolge dessen muss sich aufgrund der Radiusverkürzung und der daraus folgenden Änderung des Trägheitsmoments auch der Drehimpuls verkleinern, bleibt also nicht erhalten.

Meine Frage ist: Wieso wird in Aufgabe a) offenbar Arbeit an der Punktmasse verrichtet, in Aufgabe b) jedoch nicht?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Im Fall a) hat die Masse auch eine radiale Geschwindigkeitskomponente, denn der Radius wird ja verkürzt. Die Kraft wirkt ebenfalls in radialer Richtung, folglich steht der Kraftvektor nicht senkrecht zum momentanen Geschwindigkeitsvektor, und der Geschwindigkeitsbetrag nimmt zu. Damit auch die kinetische Energie.

Etwas formaler:

Im Fall b) steht die Kraft immer senkrecht zur Geschwindigkeit, wie Du Dir anhand einer Skizze schnell klarmachst. Somit bleibt der Geschwindigkeitsbetrag und die kinetische Energie konstant.

Dass im Fall a) der Drehimpuls konstant bleibt und im Fall b) nicht, sieht man, wenn man das Drehmoment

bezüglich der Achse durch das Zentrum bestimmt. Im Fall a) verschwindet das Kreuzprodukt, da die Vektoren parallel sind, im Fall b) nicht.