W'keit einer Messung berechnen

Anfaenger2000 · Anmeldungsdatum: 24.01.2019 Beiträge: 5

Guten Tag,

ich habe eine Frage zu der folgenden Aufgabe:

Von einer Spin-1/2 Quelle werden Teilchen mit W'keit

im Zustand

und mit W'keit

im Zustand

emittiert. Mit welcher W'keit wird bei einer Spinmessung in y-Richtung

der Messwert

abgelesen.

Es handelt sich um ein gemischtes System. Deswegen würde ich erstmal den Dichteoperator bestimmen. Dieser war wie folgt definiert:

wobei

die W'keit ist, dass der Zustand

im Gemisch vertreten ist.

Jetzt kann man leicht nachrechnen (Eigenvektoren der Pauli-Matrix bestimmen und normieren), dass der Spin-Up in x-Richtung durch den Zustand

und Spin-up in z-Richtung durch

gegeben ist. Für den Dichteoperator (Matrix) ergibt sich

Meine Frage ist nun, wie ich mithilfe des Dichteoperators die W'keit bestimmen soll. Ist dies überhaupt möglich? In der Vorlesung habe wir immer nur Erwartungswerte mit dem Dichte Operator bestimmt.

Grüße

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Anfaenger2000 · Anmeldungsdatum: 24.01.2019 Beiträge: 5

Danke für deine Antwort!

Falls die berechnete Dichtematrix korrekt ist, erhalte ich mit Definition (1) folgende W'Keit

wobei

der Eigenzustand zum Operator

mit Eigenwert

ist.

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Ich denke du hast dich bei der Spurbildung verrechnet.

Instruktiver ist es übrigens bis zum Ende die variable Wahrscheinlichkeit p als Parameter durch die Rechnung zu ziehen. Außerdem besteht keine Notwendigkeit in der z-Darstellung zu rechnen. Die gesamte Aufgabe läßt sich gut mit Hilfe der Pauli-Algebra allein lösen. In einem anderen Thread habe ich gerade erklärt, daß jeder Zustand eines Spin-1/2-Systems durch Angabe eines Polarisationsvektors

definiert werden kann

Die Pauli-Matrizen erfüllen die algebraischen Relationen

und

Nun muß man nur noch wissen, daß reine Zustände durch die Bedingung

charakterisiert sind. (Warum?) Dann folgt auch, daß die Eigenzustände für die Spinmessung entlang einer Achsenrichtung die Form

etc. haben. Damit haben wir für den Ausgangszustand

.

Gesucht ist nun

Das ist also unabhängig von

. (Die Zwischenschritte empfehle ich dir selbst zu rechnen.)

Anfaenger2000 · Anmeldungsdatum: 24.01.2019 Beiträge: 5

Danke für den Darstellungsfreien Lösungsweg!