Zylinder rollt in Hohlzylinder

Ochy · Anmeldungsdatum: 28.08.2013 Beiträge: 22

Meine Frage:
Ich bereite mich gerade auf eine Prüfung vor und will dafür eine Bewegungsgleichung über die Euler-Lagrange-Gleichung aufstellen.

Dabei soll ein Zylinder in einem feststehenden Hohlzylinder rollen ohne zu gleiten.

Meine Ideen:
Dazu habe ich erstmal die kinetische (translatorische und rotatorische) Energie bestimmt und die potentielle Energie.

Mein Lösungsversuch ist hier:

Riesenbilder aus externem Link geholt, stark verkleinert und als Anhang eingefügt. Bitte keine externen Links verwenden. Steffen

Allerdings kommt mir die Lösung ziemlich suspekt vor, weil doch irgendetwas schwingendes herauskommen müsste. Ich kann aber beim besten Willen meinen Fehler nicht finden^^ Aber ich vermute, das Problem liegt irgendwo in den Energien, die ich aufgestellt habe.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Leider erkenne ich nach der Verkleinerung v.a. auf der 2. Seite nur noch ungefähr, was da steht... aber dennoch. So, wie Du den Winkel wählst, müsstest Du den Cosinus um pi/2 herum entwickeln, denn dort ist die Ruhelage. Einfacher aber, Du wählst den Winkel einfach so, dass die Ruhelage bei phi=0 ist. Dann entsteht in der Bewegungsgleichung ein Sinus, und für kleine Auslenkungen ergeben sich harmonische Schwingungen.
Zur Rotationsenergie: diese ist nicht

sondern, wenn ich mich nicht täusche,

Wenn sich der Zylinder einmal im ganzen Hohlzylinder herumgedreht hat, hat er nicht R/r Umdrehungen gemacht, sondern R/r-1 Umdrehungen.

Ochy · Anmeldungsdatum: 28.08.2013 Beiträge: 22

Ja, das mit der komprimierung des Bildes ist auch etwas unglücklich gelaufen^^

Deine Aussage mit der Rotationsenergie und dem -1 schien mir erst ziemlich kontraintuitiv, aber je mehr ich darüber nachdenke, desto mehr Sinn ergibt das, da die Strecke, um die ich abrolle sich ja selbst einmal dreht. Außerdem, wenn ich meinen kleinen Zylinder in einem minimal größeren Zylinder (also Umfang ungefähr gleich), rollen lasse, dann dreht er sich ja nicht ein ganzes mal, sondern fast 0 mal Hammer

Und durch das Entwickeln von

um die Ruhelage bleibt bei der Kleinwinkelnäherung ein

übrig. Mein vorheriges Ergebnis hat also in sofern Sinn ergeben, als dass ich durch die Wahl des Winkels einen freien Fall für kleine Winkel berechnet hatte^^

Jetzt habe ich eine wunderschöne, schwingende Lösung mit

Dankeschön! Thumbs up!

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202