Lösungen einer komplexen Gleichung

ATtiny · Anmeldungsdatum: 19.01.2019 Beiträge: 22

Meine Frage:
Hallo,

folgende Aufgabenstellung:
Man bestimme sämtliche Lösungen der Gleichung

Meine Ideen:
Substitution

und dann PQ-Formel:

Aber wie könnte ich nun weitermachen? Wenn die "3j" nicht wären, wüsste ich was zu tun ist.
Ich würde

substituieren, die PQ Formel anwenden, anschließend zurücksubstituieren,
beide Ergebnisse in die Exponentialform und 6 Lösungen finden. Aber so?!

Ich hoffe es kann mir jemand einen Denkanstoß geben.
Danke!

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7462

Beim Lösen einer komplexen Gleichung ergibt sich zunächst nur die sogenannte Hauptlösung. Die weiteren Nebenlösungen liegen mit dieser gleichmäßig verteilt auf einem Kreis. Sie bestimmt man also, indem man den polaren Zeiger der Hauptlösung mehrmals "weiterdreht", in diesem Fall also jeweils um 360°/6=60°.

Viele Grüße
Steffen

ATtiny · Anmeldungsdatum: 19.01.2019 Beiträge: 22

Hallo,

das habe ich denke ich verstanden,
hätte ich z.B. als Hauptlösung

würde ich (nur mal als Beispiel) über folgenden Weg 3 Lösungen für

finden:

wobei für n 0; 1; 2 einzusetzen sind.

in meinem Fall bin ich mir aber stört mich bei meiner Denkweise die Quadratwurzel. Ich komme einfach nicht in die Exponentialform.

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7462

Auch der Radikand 9-3j muss erst einmal polar ausgedrückt werden, um die Quadratwurzel ziehen zu können.

ATtiny · Anmeldungsdatum: 19.01.2019 Beiträge: 22

also mache ich folgende Schritte:

das gleiche für

jetzt würde ich einfach die Exponentialform wieder in die Normalform
umwandeln um mit der -3 weiterrechnen zu können. Ist dieser Ansatz korrekt?

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7462

Ja, so meinte ich's. Wobei Du z2 hier nicht berechnen musst, denn wenn Du zum Schluss eine einzige Hauptlösung hast, ergeben sich die Nebenlösungen aus dieser. Mit z2 würdest Du die dann noch einmal bekommen.

ATtiny · Anmeldungsdatum: 19.01.2019 Beiträge: 22

Hier habe ich anscheinend ein Verständnisproblem.
Wenn ich die Ausgangsgleichung betrachte, sagt mir das

doch, dass es genau 6 Lösungen zu dieser Gleichung geben muss.

Und aus meiner durch Substitution erhaltenen quadr. Gleichung erhalte ich doch 2
Lösungen für

.

Und

bringt mir doch 3 Lösungen, welche auf einem einbeschriebenen
Dreieck liegen.

Also müsste ich doch sowohl mit

als auch mit

arbeiten um so 2 mal 3 Lösungen zu erhalten.

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7462

Du hast völlig recht, es sind ja zwei unterschiedliche Dreiecke. Ich ging irrtümlich davon aus, dass die sechs Lösungen der Ursprungsgleichung auf einem einzigen Kreis liegen.

Viele Grüße
Steffen

ATtiny · Anmeldungsdatum: 19.01.2019 Beiträge: 22

Gar kein Problem,

nichtsdestotrotz komme ich nicht auf die selben Ergebnisse wie Wolfram Alpha, irgendwo
mache ich anscheinend einen Fehler. Ich habe die Vermutung dass bei den Umformungen
in meinem Beitrag von 15:45 irgendetwas schief läuft.

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7462

Nein, die sehen m.E. richtig aus. Natürlich gibt es auch bei der komplexen Wurzel eine Haupt- und Nebenlösung, aber diesmal sollte das keine Rolle spielen. Ich schau mir das aber noch mal in Ruhe an.

EDIT: Es passt in der Tat alles. Was ist denn Deiner Meinung nach falsch?

Viele Grüße
Steffen