Differentialrechnung (Ladder Problem)

mzeee · Anmeldungsdatum: 22.04.2019 Beiträge: 3

Herzliche Grüsse ans Forum!

Vorab meine Fragezeichentaste ist defekt. Ich ersetze es durch zwei Slashs und verzeiht, wenn ich ein schwach formuliere. Hab ne leichte Aphasie.
Meine Frage bezieht sich auf das Leiterproblem.

Angaben:
Leiterlänge Z=17
Fallhöhe Y=15
Leiterabstand zur Wand X=8 und (dx/dt = 3ft/s)

Die Lösung ist nach Phytagoras x^2+y^2=z^2 wie folgt: dy/dt ist -8/5 ft/s.

Mein Problem bezieht sich auf das Verständnis.
In dem Moment in dem ich die Ableitungen der quadratischen Funktionen x^2 und y^2 (und z^2=0) durchführe, erstelle ich zwei identische Ableitungsfunktionen, da beides quadratische Funktionen sind (soweit richtig, oder//)

Der Satz von Phytagoras ist richtig und wenn ich einen Wert für dx/dt einsetze, muss dy/dt einen bestimmten Wert annehmen, ansonsten würde die Gleichung nicht mehr aufgehen.
Ich forme um und erhalte die entsprechende Steigung dy/dt wenn X=8 u Y=15. ABER warum ist die Steigung von dx/dt grösser als dy/dt.
Der Wert für Y=15 und für mein Verständnis in der quadratischen Funktion f(Y)=15^2=225 weiter oben angesiedelt als f(X)=8^2=64.
Höherer Funktionswert in einer quadratischen Funktion entspricht doch einer grösseren Steigung/Änderungsrate, oder//

Es kann sein, dass ich komplett auf dem Holzweg bin, daher hoffe ich jemand nimmt sich die Zeit um mir zu erklären was genau passiert, wenn ich die Ableitung vornehmen.
Ich finde im Internet nur Anleitung wie ich es mache, aber nicht was graphisch gesehen Schritt für Schritt passiert.

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

Hier sollte man sich keine verqueren Gedanken machen, sondern einfach rechnen. Zunächst stellt man den Pythagoras etwas um:

Jetzt leitet man einfach nach der Kettenregel ab und erhält:

Das ergibt

Die Zahlen für die rechte Seite sind alle gegeben, also einfach einsetzen und ausrechnen.

mzeee · Anmeldungsdatum: 22.04.2019 Beiträge: 3

Danke für deine Antwort.
Das Lösen solcher Gleichungen beherrsche ich, aber ich möchte verstehen wieso dx/dt eine grössere Steigung als dy/dt hat.

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

Das ist einfach eine Folge des Satzes von Pythagoras. Wenn man in einem rechtwinkligen Dreieck mit gegebener Hypothenuse (hier

) eine Kathete ändert, wird sich die andere Kathete im allgmeinen nicht in gleichem Maße ändern, sondern stärker oder schwächer. Wenn man in deinem Beispiel

von 8 auf 9 vergrößert, ergibt der Pythagoras, dass sich

dann nicht von 15 auf 14 reduziert sondern nur auf ca. 14.4.