Ladung mittels Deltafunktion für unendlich dünnen Kreisring

balance · Anmeldungsdatum: 14.11.2012 Beiträge: 125

Hallo,

Aufgabe: Berechne das elektrostatische Potential für einen unendlich dünnen Kreisring mit Radius

und homogener Längenladungsdichte

in der x-y-Ebene, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist. Wir sind nur am Potential auf der z-Achse interessiert.

Lösung:

Wir wissen

.

Weiter haben wir

und

wobei wir Polarkoodrinaten benutzt haben.

Also

Wir brauchen nun noch einen Ausdruck für die Ladungsdichte. (Man könnte es auch einfacher machen indem man das Integral einfach korrekt hinschreibt, aber ich möchte hier explizit die Delta-Funktion üben.)

Die Ladung befindet sich sichermal bei

also haben wir den Term

. Weiter ist sie bezüglich

in der x-y-Ebene unendlich dünn, also haben wir hier den Term

. Damit unser Integral funktioniert, müssen wir noch über den Winkel integrieren (weil wir ja sozusagen über das ganze "Volumen" des Ladungsträgers integrieren wollen. Somit:

Wir bekommen somit:

Ist meine Herleitung der Ladungsdichte mittels der Delta-Funktion korrekt? Ist das Integral für das Potential korrekt? Das Ergebnis macht Sinn und ich krieg auch das wenn ich es ohne Delta-Funktion löse, aber man weiss ja nie.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Die Ladungsdichte dürfte richtig sein. Aber wo ist denn am Schluss der Nenner des Integranden geblieben? Dieses Potential wäre ja konstant und unabhängig von z.

balance · Anmeldungsdatum: 14.11.2012 Beiträge: 125

hmm, da war ich glaub ein wenig erschöpft. Aber danke fürs Feedback, sofern das Integral korrekt aufgestellt ist, passt das schon - sowas sollte ich eigentlich ja noch fähig sein zu lösen. smile

balance · Anmeldungsdatum: 14.11.2012 Beiträge: 125

Gleiches Problem, eine etwas andere Frage - werde später wohl och auf die Delta-Funktion zu sprechen kommen. Aufjedenfall habe ich mich nohmal hingesetzt und es ganz genau durchgerechnet etc. Stimmen meine Gedankengänge?

Wir haben erstmal

und bekommen

In (1) sehen wir, dass wir ja sozusagen einen Punkt

betrachten an welchem wir das Potential wissen möchten. Dazu summieren wir sozusagen alle Wirkungen an diesem Punkt auf - die einzige Quelle ist hier die Ringladung. Wir können also den Rest des Raumes sozusagen "ignorieren", dies ist (indirekt) der Grund für die Parametrisierung der Ladung.

Wir sind nun nur am Potential auf der z-Achse interessiert, also

. Wir stopfen das alles in (1) und bekommen

Weiter wissen wir, dass

für

. Das Integral über

und

hat also Mass Null und somit trägt es nichts zum Ergebnis bei. Das gibt uns:

Sind diese Gedankengänge okay?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Das Potential ist auf jeden Fall richtig, sieht man vom fehlenden Faktor

im Fall von SI-Einheiten ab. Dass das Integral über r und z „Mass null hat und nicht zum Ergebnis beiträgt“ würde ich nicht sagen, immerhin ist die Delta-Funktion eine spezielle Funktion und kann z.B. nicht mit dem Lebesgue-Integral behandelt werden.