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Wellenpaket Zusammenhang Fouriertrafo
 
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QM1-Versteher
Gast
Beitrag QM1-Versteher Verfasst am: 31. Aug 2019 11:41    Titel: Wellenpaket Zusammenhang Fouriertrafo Antworten mit Zitat
Schönen Samstag allerseits!

Ich verstehe häufig die Berechnungsdetails und was zu machen ist, aber mir fehlt manchmal das Allgemeinverständnis.

Warum genau werden Wellenpakete als Fourier(rück)transformation definiert?

Also wieso haben wir (um mal eindimensional zu bleiben):



Eine ebene Welle hat ja die Form:



Ist das untere also einfach nur ein einziger Wellenzug und die obere Gleichung eine Überlagerung von ebenen Wellen?

Und wieso ist:



Kleine Details fehlen einfach immer im Verständnis. Hammer
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21593
Beitrag TomS Verfasst am: 01. Sep 2019 08:32    Titel: Re: Wellenpaket Zusammenhang Fouriertrafo Antworten mit Zitat
QM1-Versteher hat Folgendes geschrieben:
Warum genau werden Wellenpakete als Fourier(rück)transformation definiert?

Die Fouriertransformation nimmt eine Sonderrolle ein, da die enthaltene e-Funktion gerade einer ebenen Welle und damit der Lösung der freien Schrödingergleichung entspricht. Generell funktioniert eine derartige Darstellung jedoch für beliebige Lösungen der Schrödingergleichung - auch mit Potentialstermen bzw. allgemeinen Wechselwirkungen.

Gegeben sei ein beliebiger -per definitionem selbstadjungierter - Hamiltonoperator H auf einem separablen Hilbertraum. Dann wissen wir, dass die stationäre Schrödingergleichung



ein vollständiges Orthonormalsystem auf diesem Hilbertraum definiert und dass demnach alle Elemente des Hilbertraumes d.h. alle im Kontext des gegebenen physikalischen Systems möglichen Wellenfunktionen darstellbar sind als



mit den verallgemeinerten Fourierkoeffizienten psi_lambda; lambda ist dabei eine allgemeinere Integrationsvariable als E; Ursache dafür ist die mögliche Entartung bzgl. E; im Falle der ebenen Wellen gehören zu jedem E zwei verschiedene k.

Zu einer zweiten Frage:

Wenn zu einem beliebigen Zeitpunkt t_0 ein beliebiges Wellenpaket gegeben ist, dann ist dessen Zeitentwicklung für spätere Zeitpunkte t > t_0 eindeutig determiniert mittels des Zeitentwicklungsoperators





U liefert letztlich eine formale Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung.

Einsetzen des obigen Wellenpakets liefert



Der letzte Term entspricht zunächst wie oben



andererseits mittels Anwendung des H in U auf u_lambda



Der von dir genannte Spezialfall folgt für t_0=0 sowie für die freie Schrödingergleichung.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
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