Mehrfacher Looping

anybodyElse · Anmeldungsdatum: 28.01.2020 Beiträge: 27

Ein Pendel besteht aus einem Faden der Länge L, an dessen Ende ein kleiner Pendelkörper mit der Masse m angebracht ist. Dieses Pendel wird bis in die Horizontallage ausgelenkt und anschließend losgelassen (siehe Abb. 1). Am tiefsten Punkt seiner Bahn schlägt der Faden gegen einen kleinen Nagel, der sich in einem Abstand R direkt über diesem tiefsten Punkt befindet. Dabei ist die Nadelachse quer zur Bewegung. Wenn R nur klein genug ist, dann kann der Pendelkörper den Nagel auf einer Kreisbahn umwickeln (siehe Abb. 2). Wichtig ist, dass bei einem solchen Umlauf der Faden immer (auch im Maximum) straff bleibt. Wir machen folgende Angaben: m = 100 g, L = 10 cm, R1 = 3 cm, R2 = 4 cm und R3 = 5 cm.

a) Was ist die Geschwindigkeit am unteren Umkehrpunkt?

Die Auslenkung beträgt am unteren Umkehrpunkt

. Es gilt

bei Ruhelage, die potentielle Energie macht die Gesamtenergie aus

. Beim Loslassen wandelt sich die Energie in potentielle Energie um. Damit ist die Gesamtenergie:

b) Was ist die Geschwindigkeit am oberen Umkehrpunkt (Maximum)?

Am oberen Umkehrpunkt gilt für den Winkel

, da die Auslenkung maximal ist. Dann wird allerdings der Wurzeltermin negativ, da

. Wie komme ich hier weiter?

c) Ist für die Radien R1 bis R3 der Faden am oberen Umkehrpunkt noch gespannt? (Wenn der Faden im Maximum gespannt ist, dann ist er auf der gesamten Kreisbahn gespannt.) (Hinweis: Gehen Sie in das rotierende Bezugssystem des Pendelkörpers. Welche Kräfte wirken dann im Maximum und was ist die Resultierende?) Was geschieht, wenn die Kräftesituation so ist, dass der Faden nicht mehr dort gespannt werden kann?

Es wirkt die Schwerkraft:

Zudem die Rückstellkraft:

Mit dem 2ten Newtonschen Gesetz (F=ma) folgt nach etwas Umformung die Differentialgleichung:

Ich weiß aber nicht, wie ich das genau nutzen kann und was hier eigentlich gefragt ist.

d) Können Sie diese Situation verallgemeinern? Zeigen Sie insbesondere, dass R kleiner als 2/5 L sein muss, damit sich der Pendelkörper auf einer Kreisbahn um den Nagel wickelt.

Wie soll das gehen?