Dirac Notation

stefanboltzmann · Anmeldungsdatum: 08.11.2018 Beiträge: 44

Meine Frage:
Guten Tag,

mir ist etwas bei der Dirac Notation noch nicht ganz klar.
Für die Normierungsbedinung gilt ja, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit über den ganzen Raum 1 sein muss, also das gillt:

Hier sieht man ja nun auch, dass das Skalarpdoukt mit einem Integral definiert ist bzw. <f|f>.
Wieso wird jetzt zum beispiel wenn ich einen zeitabhängigen Zustand zum Zeitpunkt 0 also Psi(0) habe, das Integral weggelassen?
Also zb. so etwas wie:

wobei:

Genauso bei der Berechnung der Erwartungswerte für zum Beispiel

wobei hier der Zeitentwicklungsoperator auf Psi angewendet wurde um den zeitlichen Verlauf des Zustands zu erhalten. Auch hier gibt es kein Integral und man kann die Wellenfunktion auf die Spinmatrix und darauf wieder die komplex konjugierte Wellenfunktion rechnen ohne ein Integral.

Ich hoffe es kann mir hier einer weiterhelfen.

Meine Ideen:
Hat es etwas damit zu tun, dass wir hier einen zeit-und keinen ortsabhängien Zustand vorliegen haben?

Grüße Boltzmann

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

steht für das Skalarprodukt in einem abstrakten Hilbertraum.

Die Wellenfunktionen mit dem x-Integral steht dann für eine spezielle Darstellung - hier die x- bzw. Ortsdarstellung; könnte aber auch die p- bzw. Impulsdarstellung sein.

Ist der Unterschied klar?

Das hat nichts mit der Zeitabhängigkeit zu tun; diese ist immer zusätzlich zu betrachten, je nach Schrödinger- oder Heisenbergbild für die Zustände bzw. Operatoren.

stefanboltzmann · Anmeldungsdatum: 08.11.2018 Beiträge: 44

Erst einmal danke für deine Antwort.

Leider muss ich sagen, dass es mir noch nicht wirklich klarer geworden ist bzw. ich den Unterschied zwischen den beiden Normierungen sehe.
Geht es darum dass das Integral nur für eine bestimmte Darstellung im Hilbertraum vorhanden ist, aber, wenn wir uns nicht in diesem befinden, es ein ,,normales Skalarprodukt'' zwischen zwei Vektoren bzw. Matrix und Vektor bleibt?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Für eine beliebige a-Darstellung gehst du aus von einer Zerlegung der Eins als Summe über der a-Orthogonalbasis

Dann schiebst du die Eins ins Skalarprodukt ein

Damit erhältst du die Komponenten von bra und ket bzgl. dieser Basis

sowie die Darstellung des Skalarproduktes

In der x-Darstellung funktioniert das analog, außer dass du einen kontinuierlichen Index x und in der Folge ein Integral statt der Summe sowie die Normierung mittels delta-Distribution erhältst.