Der Hamiltonoperator

trompetenspieler · Anmeldungsdatum: 07.05.2020 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo zusammen,

bei der Berechung des Energieerwartungswerts muss folgendes Integral
gelöst werden:

wobei

gilt.

Somit ergibt sich:

Nun zu meiner Frage: kann man einen Operator, der auf das Produkt zweier Funktionen wirkt genauso vorgehen, wie bei der Produktregel einer Ableitung?

Meine Ideen:
Ich würde erstmal vermuten nein, weil da ein Term auftritt, der falsch aussieht. Allerdings wüsste ich auch keinen Grund dafür, dass das nicht gelten soll.

Hoffentlich könnt ihr mir weiterhelfen
LG

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Zunächst mal gehst du davon aus, dass die Wellenfunktion die Schrödingergleichung mittels Separationsansatz löst, d.h.

Dann ist aber

und unter dem Integral folgt

Alternativ kannst du H anwenden

mit dem Integranden

H enthält keine Zeitableitung, d.h. f ist bzgl. H wie eine Konstante zu betrachten und darf vorgezogen werden.

Aber wenn dieser Separationsansatz gilt, dann liegt ohnehin eine Eigenfunktion vor, es gilt

und der Erwartungswert ist identisch mit dem Eigenwert E.

Willst du das zeigen?

Der Separationsansatz gilt jedoch nur für Energieeigenfunktionen. Eine allgemeine Lösung der Schrödingergleichung

erfüllt den Separationsansatz nicht und ist keine Eigenfunktion zur Energie. Damit funktioniert dein Ansatz nicht mehr.

Was genau möchtest du berechnen? Den Spezialfall der Eigenfunktion, oder den allgemeinen Fall?