Schwerpunkt von Dose und Flüssigkeit

ThisGuy · Gast

Meine Frage:
Eine senkrecht stehende zylindrische Getränkedose der Masse m und der Hlhe h ist mit Eistee ebenfalls der Masse m vollständig gefüllt. Jetzt wird ein kleines Loch in die Mitte des Bodens und des Deckels geschlagen, so dass der Eistee langsam auslaufen kann.

a) Geben sie einen Ausdruck für die Lage des Schwerpunktes des Systems Dose + verbliebener Eistee in Abhängigkeit von der Füllstandshöhe an.

b) Welche Höhe unterschreitet der Schwerpunkt nicht, wenn der Eistee herausläuft.

Könnte mit jemand bei der a) helfen? Ich war bisher nicht dazu in der Lage etwas sinnvolles zu bestimmen. Ich bedanke mich im voraus smile

Meine Ideen:
Mein Ansatz war dass der Schwerpunkt des Systems zu Beginn bei der Hälfte der Höhe der Dose liegt. Durch das Abfließen der Flüssigkeit würde der Schwerpunkt nach unten wandern und irgendwann wieder nach oben wandern, bis er wieder bei der Hälfte angekommen ist, da es ja um den Schwepunkt des Systems Dose und VERBLIEBENER Eistee geht. Allerdings konnte ich keine Formel formulieren.

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2150

Hier kannst du einfach die Formel für den Schwerpunkt anwenden und dann das Volumenintegral in ein Integral über die Dose und ein Integral über die Flüssigkeit aufspalten. Man erhält:

mit
z_ges: Schwerpunkt von Flüssigkeit und Dose
z_d: Schwerpunkt der Dose
z_f: Schwerpunkt der Flüssigkeit
m_d: Masse der Dose
m_f: Masse der Flüssigkeit

Viele Grüße,
Nils

ThisGuy · Gast

Okay vielen Dank! Big Laugh

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Der Schwerpunkt der Dose ist unabhängig vom Füllstand konstant bei

Ihre Masse ist konstant

Beim Füllstand y liegt Schwerpunkt des verbliebenen Tees bei

Beim Füllstand y ist die Masse des verbliebenen Tees

Kommst Du damit weiter?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Ja, es ist genauso, zuerst nimmt die Schwerpunktshöhe ausgehend von 1/2*hD ab, und ab einem gewissen Füllstand wieder zu.
Für die Berechnung der Schwerpunktshöhe gibt es verschiedene Möglichkeiten. Entweder gehst Du von der Definition des Schwerpunkts aus:

Hier ist klar, dass der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse der Dose liegt, gesucht ist also nur die Höhe des Schwerpunkts. Eine infinitesimale Ebene der Höhe dh hat die Masse

.Dies führt auf die Gleichung

Dabei ist hD die Dosehöhe, in Abweichung von der Aufgabenstellung, und hF ist die Füllstandshöhe.

Oder du gehst anschaulich vor und betrachtest den gemeinsamen Schwerpunkt einfach als gewichtete Summe der beiden einzelnen Schwerpunkte von Dose und Eistee - diese sind ja unmittelbar klar.

Für den gesuchten Füllstand bei minimaler Schwerpunktshöhe die Ableitung

gleich null setzen.

Ah, ich sehe, Nils H. und GvC waren schneller bzw. ich zu langsam...

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2150

Die Zahl der sich langweilenden Physiker scheint in diesen Tagen echt hoch zu sein... Big Laugh