Zweiteilchenpotential in 2ter Quantisierung

AnfängerZurDritten · Anmeldungsdatum: 07.07.2020 Beiträge: 2

Meine Frage:
Guten Abend,
für mich ist die zweite Quantisierung neu - ich versuche mich gerade damit etwas vertraut zu machen. Dafür versuche ich die Rechnungen aus meinem Skript (https://itp.tugraz.at/~evertz/QM-2/qm2.pdf) zu verstehen.

Im Abschnitt "1.6.3 Vielteilchenoperatoren im Impulsraum" wird ein Einteilchenpotential im k-Raum in zweiter Quantisierung ausgedrückt. Diese Rechnung verstehe ich. Anschließend soll das gleiche für ein Zweiteilchen Potential gemacht werden. Dazu steht jedoch nur, dass diese Rechnung "analog" verläuft und das Ergebnis:

Ich kann leider nicht sehen, wie die Rechnung zu machen ist.

Meine Ideen:
Leider sehe ich nicht, wie man in diesem Formum Anhänge hochladen kann. Deshalb kommt meine Rechnung nur in Worten...:

1. Setze Definition der Feldoperatoren ein,

2. Verwende Impuls-Eigenfunktionen:

.

3. Nach Schritt 2 sind in dem Ausdruck 4 Operatoren enthalten:

Schon ab hier komme ich nicht mehr weiter. Das letzte Integral sieht ja schon mal nach Fourier-Transformation aus - das ist gut. Ich weiß nur leider nicht, wie ich mit der Orts-Verschiebung "x-y" im Argument des Potentials umgehen soll. Meine Hoffnung ist, dass ich nach diesem Schritt über

die Indizes an den Erzeugern und Vernichtern ergeben.

Danke für eure Hilfe smile

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Du substituierst so, dass du über

integrierst.

Im Exponenten liefert das

d.h. du kannst zunächst die z-Integration explizit ausführen und erhältst

AnfängerZurDritten · Anmeldungsdatum: 07.07.2020 Beiträge: 2

Da habe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen, Danke.

Um die Aufgabe abzuschließen:
In der Frage habe ich einen Tippfehler gemacht. Das Ergebnis muss es

heißen.

Mit deiner Substitution erhält man die Fouriertransformierte von

. Setze

. Mit dem zweiten Integral erhält man

. Damit kommt man auf

und

. Das entspricht genau dem Ergebnis von oben.