SRT: Beweis der Linearität von Lorentztransformationen

Bridgy · Gast

Grüße,

Ich verstehe eine Textpassage aus meinem Lehrbuch über die Spezielle Relativitätstheorie nicht und habe gehofft ihr könnt mir weiterhelfen:

Es wird gezeigt, dass die Lorentztransformationen bzw. Poincaretransformationen linear bzw. affin sind. Folgendermaßen wird argumentiert:

"""
Die Poincaretransformationen sind diejenigen Koordinatentransformationen

,

welche das Linienelement

invariant lassen.

Aus den beiden obigen Gleicungen folgt nun

.

Nun wird dieser Ausdruck nach

differenziert, anschließend werden die Indizies

zyklisch permutiert, sowie zwei der daraus entstehenden Gleichungen addiert und die Dritte subtrahiert. Demgemäß ergibt sich daraus

"""

Soweit kann ich die Argumentation noch nachvollziehen. Nun steht da aber weiter:

"""
Wegen

müssen daher alle zweiten Ableitungen von

verschwinden,

ist daher linear (affin).
"""

Hier stehe ich an. Mir ist zwar bewusst, dass die erwähnte Determinante ungleich Null ist (das ergibt sich aus der oben stehenden dritten Gleichung), warum daraus allerdings das Verschwinden aller zweiten Ableitungen folgen soll, ist mir unklar. Denn eine Determinante ungleich Null bedeutet ja nicht, dass der Term

selbst immer Ungleich Null ist.

Danke schon jetzt für eure Mühen.

Beste Grüße,
Bridgy

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Tipp:
"Determinante ungleich Null" bedeutet, dass eine Matrix invertierbar ist.

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2143

Hallo,

Bridgy · Gast

Grüße,

Danke für eure Antworten. Um eure Vorschläge nun ausformuliert festzuhalten:

Und deshalb gilt für alle

, dass

ist, woraus wiederum folgt, dass

mit entsprechenden

und

.

Ich denke das ist, was ihr gemeint habt, nicht wahr? Die Argumentation scheint für mich plausibel - Vielen Dank für eure Hilfe!!

Beste Grüße,
Bridgy