Gekoppelte Schwingung: Warum symmetrische Matrix?

kds · Gast

Meine Frage:
Hallo,

um die Bewegungsgleichungen gekoppelter Schwingungen zu lösen kann man diese ja in Matrixform ausdrücken, einen Exponentialansatz machen und erhält so ein Eigenwertproblem für die Eigenfrequenzen und Schwingungsmoden des Systems.

Die Matrizen (Massenmatrix und Federmatrix) die man dabei einführt sind symmetrisch. Gibt es dafür eine anschauliche, physikalische Erklärung? (Nicht nur "Das kommt mathematisch halt so raus.")

Meine Ideen:
Eine Idee wäre actio=reactio...

gast--0221 · Gast

Der Grund ist mehr mathematisch als physikalisch. Du hast ja erst mal Terme der Form

, jetzt ist aber

und man macht die Matrix

deshalb einfach symmetrisch.

Guck unter quadratische Form.

Zum Beispiel:

kds · Gast

Ja, das dachte ich mir schon. Mathematisch bereitet es mir auch kein Kopfzerbrechen. Allerdings wurde das scheinbar mal in einer mündlichen Prüfung gefragt für die ich gerade lerne. Damals war die Antwort "actio=reactio". Ich versuche mir seit Tagen zu überlegen, wie man sich das anschaulich vorstellen könnte.

Qubit · Anmeldungsdatum: 17.10.2019 Beiträge: 1116

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Wenn man die Bewegungsgleichungen aus der Lagrangefunktion ableitet, dann erhält man für die n-te Masse den Term

wobei die Summe über benachbarte Massen läuft.

Und da das Potential V nur vom Abstand der Massen abhängt, wird die Matrix symmetrisch sein.