s-Wellenstreuung an Zentralpotential

Friedrich Talman · Gast

Meine Frage:
Guten Tag, ich brauche Hilfe dabei, eine Aufgabe richtig anzugehen:

Ein Teilchen mit Masse m werde am Potential

gestreut. Man kann die Schrödingergleichung mit Hilfe von Substitutionen umformen und erhält dann für s-Wellenstreuung, also mit l=0 folgende Lösungen:

mit

wobei die

die l=0 Lösungen der radialen Schrödingergleichung sind. Die Lösungen seien gegeben durch:

Aufgabe: Konstruiere eine bei r=0 verschwindende Lösung und berechne daraus die Streuphase.

Meine Ideen:
Mein Ansatz war die Linearkombination der beiden Lösungen:

Randbedingung r=0 einsetzen:

Man sieht dann, dass B=-A. Wenn ich dass in meine allgemeine Lösung einsetze, um B zu ersetzen, bekomme ich diese Lösung:

Hier weiß ich jetzt nicht weiter. Normalerweise würde ich die Lösung für kurzreichweitige Potentiale und r gegen unendlich nehmen und damit folgende Lösung für große r erhalten:

Wenn mein Potential jetzt ein Kastenpotential wäre, würde ich an der Sprungstelle durch die Anschlussbedingung die beiden Vorfaktoren in Relation bringen und dann über die Bewegungsgleichung für die y(x) an der Sprungstelle integrieren, um daraus einen Ausdruck für die Streuphase zu erhalten.

Diese Vorgehensweise ist hier aber nicht möglich, da mein Potential ja keine Sprungstelle hat, sondern kontinuierlich an 0 angenähert wird. Deswegen wäre ich hier sehr dankbar für Hilfe und Tipps, wie ich in diesem allgemeineren Fall einen Ausdruck für die Streuphase herleiten kann.