Seil an Tischkante (Lagrangefunktion)

Physik_Student · Anmeldungsdatum: 01.07.2021 Beiträge: 26

Meine Frage:
Hallo,

ich rechne gerade eine Aufgabe, in der ein Seil z.T. auf einem Tisch liegt und z.T. über die Tischkante hinaus in der Luft hängt. Das Seil wird zuerst festgehalten und dann losgelassen, sodass es (ohne Reibung) vom Tisch herabgleitet.

Man soll nun die Lagrangegleichungen aufstellen und lösen. Zur Aufgabe gibt es auch eine Lösung, allerdings verstehe ich zwei Sachen an der Lösung nicht:

1.) In der Lösung wurde als senkrechte Achse die x-Achse gewählt (warum auch immer...), die kinetische Energie des Seils ist dann mit der Formel:

ausgedrückt worden. Aber damit hat man doch nur die senkrechte Komponente drin, das Seil rutsch doch aber auch horizontal über den Tisch, müsste die Formel also nicht so heißen:

?

2.) die Potentielle Energie wurde berechnet, indem man sich ein infinitesimales Seilstück dx anschaute und darüber integrierte, also so:

Wieso kann ich nicht einfach so rechnen?:

Massendichte

Länge des Seils

Danke im Voraus!

Meine Ideen:
s. oben

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Zu 1)

Da das Seil nicht gedehnt wird, bewegt sich ein beliebiges Stück Seil immer mit dem selben Geschwindigkeitsbetrag, egal ob vertikal oder horizontal; es bewegt sich also immer mit der Geschwindigkeit des bei x(t) befindlichen Endes, d.h.

Du könntest auch beide Teilstücke des Seiles getrennt betrachten. Dann gilt für die Massen des vertikal (senkrecht zur Tischfläche) bzw. des horizontal (parallel zur Tischfläche) bewegt Stücks

Für die Energie folgt

Zu 2)

Dein Ansatz entspricht einer punktförmigen Masse bei x. Es handelt sich jedoch um eine Massenverteilung von 0 bis x, d.h. jeder Massenpunkt trägt entsprechend seiner aktuellen Höhe bei

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5740

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Du hast recht, wenn du die Aufgabenstellung so auffassen willst, dass das Seil frei über die 2-dim. Tischplatte gleitet und dass das Seil nicht exakt gerade und im 90-Grad Winkel über die Tischkante hängt.

Ich denke jedoch, dass nur dieser Spezialfall gemeint ist, denn der allgemeine Fall ergäbe im Wesentlichen

wobei r(s) für den Ortsvektor entlang des Seiles S steht. Das entspräche einer Aufgabe in unendlich vielen Variablen.

Physik_Student · Anmeldungsdatum: 01.07.2021 Beiträge: 26

Vielen Dank für die ausführliche Antwort, das leuchtet auf jeden Fall ein!