Wie kommt man auf diese Gleichung (Quantenmechanik)

Physiker1.1 · Gast

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Frage zu einer Aufgabe aus der Quantenmechanik. Man hat den Hamilton-Operator gegeben als

und einen Propagator K mit

In der Lösung wird dann folgende Aussage gemacht:
"Since the Hamiltonian operator does not depend ecplicity on x, the propagator has to be translationally symmetric and can only depend on x-x'. "

Meine erste Frage ist, warum man diese Aussage treffen kann.

Weiter geht es dann mit der Gleichung

Meine zweite Frage ist, wie man auf diese zweite Umformung kommt.

Kann mir jemand helfen?

Danke im Voraus!

Meine Ideen:
Ich denke, bei der zweiten Umformung wurde etwas mit der Fouriertransformation gemacht, aber mehr verstehe ich auch nicht.

kleinesKorollar · Anmeldungsdatum: 21.03.2019 Beiträge: 19

Hallo Physiker1.1,

ich empfehle dir erstmal die englischsprachige Wikipedia-Seite (https://en.wikipedia.org/wiki/Propagator) zum Thema, die ist recht ausführlich und beinhaltet auch dein Problem unter der Überschrift "propagator of free particle".
Bei deinem Hamiliton-Operator müsste das

im Quadrat auftreten, da der Impulsoperator durch

definiert ist.
Dein Hamiliton-Operator beschreibt also einfach ein freies Teilchen (kein Potential) mit einem gewissen Impuls. Wenn sich das Teilchen also in keinem Potential befindet, ist es egal wo genau sich das Teilchen bewegt. Man kann den Ort beliebig verschieben -> Translationsinvarianz. Lediglich die Änderung des Ortes

spielt eine Rolle. Diese ist, wenn man mal klassisch denkt, mit dem Impuls direkt verknüpft, da der Impuls die Änderung des Ortes mal der Teilchenmasse ist.
Ich hoffe, dass damit der erste Punkt klar wird.

Zum zweiten Punkt (Umformung der Gleichung):
Dein gegebener Propagator K ist die Lösung des folgenden Pfadintegrals (s. https://en.wikipedia.org/wiki/Propagator):

Wenn du die folgenden zwei Substitutionen vornimmst, kommst du auf die angegebene Form:
Physikalische gilt:

Mathematische Substitution:

Und dann definiere:

Wenn du diese Umformungen gemacht hast, bist du direkt bei der zweiten Form des Propagators.
Schreib mir doch bitte, ob ich dir weiterhelfen konnte.

Viele Grüße,
kleinesKorollar

Physiker1.1 · Anmeldungsdatum: 14.11.2021 Beiträge: 19

Hallo,

vielen Dank für die ausführliche Antwort, das hat mir auf jeden Fall weitergeholfen! Und auch danke für die Verweise auf die entsprechenden Wikipedia-Artikel. Ich muss mir wohl angewöhnen auch die englischsprachigen durchzulesen. Diese sind oftmals sogar klarer und ausführlicher als die deutschsprachigen.

Schönen Abend,
Physiker1.1