Wieso ist "0 *unendlich" ein unbestimmter Ausdruck

Unendlichkeit · Gast

Ich verstehe nicht, wieso es sich bei 0 * ∞ um einen nicht definierten Ausdruck handelt.

Egal wie hoch eine Zahl ist, die Null gewinnt am Ende doch immer. Mir ist keine Zahl bekannt, die mit Null multipliziert einen Ausdruck ungleich 0 ergibt. Selbst die höchste bekannte Zahl hat hier doch keine Chance...

Klar, ∞ selbst ist nicht definiert. Aber das sollte doch egal sein, da die Null doch sowieso immer dafür sorgt, dass das Produkt 0 ist.

Also: Wieso ist es falsch, zu sagen:

0 * ∞ = 0

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Hier geht es um Grenzwerte, nicht um das Verwenden der Zahl "unendlich", denn diese Zahl ist nicht definiert.

Was ist z.B. der Grenzwert von sin(x)* 1/x wenn x gegen Null läuft ?

Der erste Faktor geht für x gegen Null gegen Null, der zweite gegen unendlich.

Somit haben wir einen Ausdruck 0*∞, der Grenzwert für x gegen Null ist aber eins:

Hingegen existiert der Grenzwert nicht bei

Aber

Wir haben somit alle Möglichkeiten von Null bis Unendlich als Ergebnis des Grenzwertes offen...daher ist so ein Ausdruck unbestimt.

Kurd_Istan · Gast

0 multipliziert mit irgendwas ist immer 0 das ist doch nicht das Problem
aber etwas durch 0 dividieren wäre sowas wie unendlich bzw undefiniert

Qubit · Anmeldungsdatum: 17.10.2019 Beiträge: 1177

Das Problem ist, dass "0*∞" algebraisch sinnfrei ist, weil "∞" keine Zahl ist, kein Element einer Zahlenmenge (zumindestens in der Standard-Analysis).
Wäre "∞" eine Zahl, zB. die Kardinalität (Mächtigkeit) von N, ∞=|N|, dann wäre sie auch die grösste Zahl in N.
Daraus folgt:

∞ = ∞ +1
-> 0 = 1, ein Widerspruch.

Daher macht der Ausdruck "0*∞" nur im Limes Sinn, und da ist er unbestimmt, wie schnudl schon ausgeführt hat.