Explosion eines Satellits

navix · Anmeldungsdatum: 21.10.2021 Beiträge: 63

Aufgabenstellung:

Ein Satellit fliegt auf einer Kreisbahn mit der Umlaufdauer

um die Erde. Plötzlich wird er durch eine Explosion in zwei Teile zerrissen, mit den Massen

und

von der Gesamtmasse

.

Sie fliegen unter den Winkeln

(zur Erde hin) und

(von der Erde weg) zur ursprünglichen Bahn weiter.

Beide bleiben in jener Ebene, in der der Satellit um die Erde gekreist ist. Wie groß sind die Umlaufdauern der beiden Teile? Wie nahe kommen sie der Erde?

Daten: Erdmasse:

, Gravitationskonstante

Eigene Ansätze:

Zunächst dachte ich mir es wäre von Vorteil den Radius der Kreisbahn und die initiale Geschwindigkeit des Satellits zu berechnen.

Für die Kreisbahn ist eine Zentripetalkraft nötig, die von der Gravitationskraft geliefert wird:

Die Geschwindigkeit kann geschrieben werden als

Also erhält man nach Einsetzen und Umformungen

und für die Geschwindigkeit:

Jetzt dachte ich man könnte vielleicht den Impulserhaltungssatz anwenden.

Impuls vor Explosion:

Impuls nach Explosion:

Die Geschwindigkeitsvektoren würde ich jetzt in einen radialen und einen normalen Teil zerlegen. Vor der Explosion besteht

nur aus einer Normalkomponente. Nach der Explosion haben

sowie

eine radiale und normale Komponente.

Die kann ich ja prinzipiell berechnen. Mir ist aber nicht klar, ob die Teile jetzt auf einer elliptischen Bahn um die Erde fliegen oder einfach nur eine Kreisbahn mit kleinerem bzw. größerem Radius annehmen. Wie kann ich mir das vorstellen?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Die Bahnen müssen Ellipsen sein, denn bei unverändertem Ort haben sich die Geschwindigkeiten geändert.
Das Vorgehen über den Impulssatz ist gut. Wenn Du die Geschwindigkeitsbeträge v1, v2 hast, ergeben sich daraus die Energien der Bahnen

(da die Massen nicht bekannt sind, kann man nur die Energien pro Masse berechnen). Aus der Gleichung

ergeben sich die grossen Halbachsen a1, a2 der Bahnen.
Weiter kannst Du aus Ort und Geschwindigkeitsvektoren die Drehimpulse berechnen (wiederum pro Masse) und daraus die Bahnparameter und die Exzentrizitäten, denn es gilt

Damit sind auch die Bahngleichungen bekannt:

navix · Anmeldungsdatum: 21.10.2021 Beiträge: 63

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202