Simultan diagonalisierbare Operatoren

dabafsdf · Anmeldungsdatum: 23.02.2020 Beiträge: 57

Meine Frage:
Ein Hamiltonoperator

besitze die orthonormierten Eigenzustände

mit
Eigenenergien

. Eine Observable

besitze bezüglich dieser Basis die Matrixdarstellung

Dabei sei

eine reelle Konstante.
a)Welche Bedingung muss man an die Eigenwerte von

stellen, damit

und

gleichzeitig diagonalisierbar sind.
b)Geben Sie für diesen Fall einen Satz gemeinsamer Eigenvektoren und die zugeordneten Eigenwerte von

und

an.

Meine Ideen:
a)Zwei Matrizen sind gleichzeitig diagonalisierbar, falls gilt:

und

(Quelle:https://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalisierbare_Matrix#Diagonalisierung)

Da in der Basis von

gearbeitet wird, gilt:

Daraus folgt allerdings, das

und

die Einheitsmatrix sind. Dies ist aber nicht mit

vereinbar.
Die einzige Option ist

. Wobei E beliebig ist. Dann ist

beliebig. Bzw. sie sind nur beschänkt durch

Das Ergebnis diese Eigenwertproblems ist:

b) Die Eigenvektoren sind die Spaltenvektoren von

, die Eigenwerte von

sind die Diagonaleinträge von

und die Eigenenergien bzw. die Eigenenergie von

bezüglich dieser Spaltenvektoren ist

.

Ist diese Rechnung richtig ? Das kommt mir irgendwie so trivial vor.

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Benutze doch die Bedingung, daß zwei Operatoren gleichzeitig diagonalisierbar sind, wenn ihr Kommutator verschwindet.

dabafsdf · Anmeldungsdatum: 23.02.2020 Beiträge: 57

ah danke. Dann bekomme ich die Bedingung

Das schaut schon weniger trivial aus Prost

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259