Raketenstart - Wie viel mehr Treibstoff brauche ich für mehr

Irgendwo343 · Anmeldungsdatum: 18.04.2022 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo liebe Community,

ich habe mir überlegt wie man sich Antworten auf die Frage im Titel herleiten könnte.
Dazu wollte ich erst einmal genügend Vereinfachungen machen die ich hier aufliste:

- Obwohl es um einen Raketenstart geht möchte ich sämtliche Atmosphäre und damit
Reibungskräfte vernachlässigen

- Die Rakete sei einstufig und die Kraft die durch die Verbrennung des Triebwerks entsteht
sei als konstant angenommen

- m', die Veränderung der Treibstoffmasse sei konstant

- Da die Rakete am Boden startet, soll als Anfangsbedingung festgelegt werden, dass die
Anfangsgeschwindigkeit Null, und die Anfangsposition R_E (Radius Erde) bei einem beliebigen
Polarwinkel sei (zwei Dimensionen reichen ja).

- Als Endbedingung soll der Treibstoff komplett verblasen sein, das heißt das Gewicht
besteht nur noch aus der Traglast und die Bahn der Rakete soll sich ab dann im Zustand
eines kreisförmigen Zielorbits befinden, dessen Radius bekannt ist.

Meine Frage ist nun: Wie finde ich eine optimale Trajektorie, also optimal,
weil minimaler Treibstoff benötigt wird, bei gegebener Anfangsmasse.
Und wenn ich für jede Anfangsmasse eine optimale Trajektorie habe, was kann ich für
die Beziehung zwischen Traglast und benötigtem Treibstoff erwarten? Oder kennt jemand
Literatur die sich mit einem ähnlichen Problem auseinander setzt?

Meine Ideen:
Ich nehme an, für dieses Randwertproblem kann man das Prinzip der Wirkung verwenden, um die optimale Trajektorie zu finden, aber ich weiß nicht wie ich das formalisieren muss. Am Ende würde hoffentlich eine geeignete DGL herauskommen, die sich numerisch lösen lässt. Über die Beschleunigung durch das Triebwerk weiß ich, dass der Betrag sich proportional zu 1/(m_T+m_L-m't) verhält. Jedoch kann die Richtung des Beschleunigungsvektors frei manövriert werden, und muss in der Lösung komplett gegeben werden. Weiterhin kennt man die Endgeschwindigkeit, die durch den Kreisorbit festgelegt ist. Der Beschleunigungsterm durch die Schwerkraft verhindert glaube ich alle Versuche das Problem analytisch zu lösen.