Quantenmechanik 3D Integrale, Substition

Markus2309 · Anmeldungsdatum: 01.09.2022 Beiträge: 48 Wohnort: Karlsruhe

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich bin am überlegen, wie man hier richtig substituiert. Zu lösen ist das Integral:

welches sich zu:

ergibt

Meine Ideen:
Wie komme ich von der ersten Zeile zur zweiten? Keine Ahnung wie ich mit d^3r und Substitutionen umzugehen habe. Es ergibt auf jeden Fall Sinn, da die Größe b eine Skalierung vornimmt und vt nur eine Verschiebung darstellt. Aber ich hätte gerne mathematisch Schritt für Schritt die Substitution dargestellt.

Danke für jeden hilfreichen Beitrag

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21601

Die allgemeinen Regel zur Substitution

führt auf die sogenannte Jacobi-Determinante, die alle n * n Terme

enthält.

In deinem Fall kann man wie folgt argumentieren: In einem geeignet gewählten Koordinatensystem gilt

und damit

Die eigentliche Integration erfolgt nach dieser Substitution natürlich in Kugelkoordinaten

Markus2309 · Anmeldungsdatum: 01.09.2022 Beiträge: 48 Wohnort: Karlsruhe

Danke dir, das mit dem geeigneten Koordinatensystem hat super geklappt!

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2150

Hallo,

Die Jacobimatrix der Koordinatentransformation

lautet

und besitzt folglich die Determinante

Gemäß der Formel für das Transformationsgesetz ergibt sich bei der Substitution also der Vorfaktor b³.

Viele Grüße,
Nils

P.S.: war wohl zu langsam...

Markus2309 · Anmeldungsdatum: 01.09.2022 Beiträge: 48 Wohnort: Karlsruhe

Keine Sorge Nils, deine Antwort konnte mir auch nochmal einiges einleuchten. Jetzt habe ich das mit der Jacobi Determinante auch richtig verstanden!