Fermatsches Prinzip - Euler Lagrange-Gleichung

Heisenberg_12345 · Anmeldungsdatum: 22.11.2023 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo,

wir haben im Rahmen unserer Theo 1 Vorlesung eine Aufgabe bekommen, die das Fermatsche Prinzip mit der Euler Lagrange Gleichung verknüpft und an der ich nun seit mehreren Tagen sitze ohne eine Ansatz zu finden.
Über einen hilfreichen Tipp wäre ich sehr dankbar.
Die Aufgabe lautet wie folgt:

Ein Lichtstrahl breitet sich in einem Tank der Länge D aus und wird dabei abgelenkt. Der Brechungsindex n(y) sei nicht-uniform, sondern eine kontinuierlich fallende Funktion die von der Höhe y(x) des Lichtstrahl im Tank abhängt.

Bei Teilaufgabe a) soll erst gezeigt werden, dass das Fermatsche Prinzip äquvalent zum Weg y(x) ist, der das Funktional

minimiert. Das war erstmal machbar und nicht das Problem.

Problematischer ist Teilaufgabe b). Hier wird erst gesagt, dass das Minimierungsproblem äquivalent zur Euler-Lagrange-Gleichung ist, woraufhin man zeigen soll, dass der Weg y(x) folgender Differentialgleichung genügt:

, wobei y'' die zweite Ableitung nach x ist.

Wie kann ich dafür vorgehen?

Vielen Dank !

Meine Ideen:
Meine Idee war zunächst erst die allgemeine Formel für L entsprechend Euler-Lagrange abzuleiten und dann zu zeigen, dass das Ergebnis einer Differentialgleichung entspricht, die der geforderten Form entspricht. Das hat aber zu nichts geführt.
Auch der Versuch, die gegebene DGL rückwärts wieder in die Euler-Lagrange-Gleichung umzuwandeln, war ergebnislos.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Eine Minimierung des optischen Weges

müsste ja gleichbedeutend sein damit, dass y(x) die Euler-Lagrange-Gleichung erfüllt mit

Wenn man das mal ausrechnet, sollte man (sofern ich mich nicht verrechnet habe mit den Ableitungen, und es gibt einige Möglichkeiten dazu...) tatsächlich auf die angegebene Gleichung kommen.