Gravitationskraft

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 330

Meine Frage:
Hey bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter.

Meine Ideen:
a undnb habe ich hinbekommen aber iwie bekomme ich das mit der rotazion und divergenz nicht hin. Ebenso die Aufgabe mit dem Integral. Also ich weiß, dass ich da den Satz von stokes verwenden muss aber kann das iwie alles nicht anwenden

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Zu c): hast Du einmal versucht, die Divergenz und die Rotation von F mit Hilfe der entsprechenden Operatoren in Kugelkoordinaten auszurechnen? Bei der Rotation sollte ja klar sein, was da herauskommt, wenn ein Potential existiert. Zudem sieht man sofort, dass alle Grössen verschwinden, wenn man die Rotatio in Kugelkoordinaten ausdrückt.

Bei der Divergenz kann man zur Überprüfung des Resultats auch verwenden, dass für ein Vektorfeld der Form

mit einer skalaren Funktion f(r) gilt

Zu d): Ja, mit dem Satz von Stokes kann man einfach begründen, dass hier das Wegintegral über eine geschlossene Kurve gleich null sein muss.
Es soll aber noch explizit das Wegintegral für eine geschlossene kreisförmige Kurve berechnet werden. Dazu parametrisiert man den Weg, d.h. man definiert eine Funktion

deren Funktionswerte die Kurve durchlaufen. In diesem Fall mit einem Kreis in der xy-Ebene sollte es nicht so schwierig sein, eine solche Parametrisierung zu finden.
Für das Wegintegral gilt dann

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 330

Wie kommt man darauf, dass man diese Koordinaten nutzen sollte? Also woran erkennt man das und warum?

Und bin ej der d mit der parametrisierubg ein bisschen überfordert grübelnd

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Das gegebene Vektorfeld hat nur eine Komponente in Richtung e_r, und als einzige Variable tritt r auf. Da liegt es nahe, Kugelkoordinaten zu verwenden. So wie das Vektorfeld gegeben ist, kann man die Divergenz und die Rotation in Kugelkoordinaten direkt darauf anwenden.

Den in d) angegebenen Weg könnte man durch

parametrisieren.

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 330

Möglicherweise bin ich gedanklich iwo komplett falsch abgebogen, aber wenn ich die Rotation in kugelkoordinaten berechne, müsste diese doch wie folgt aussehen:

Aber es kommt nicht null raus grübelnd

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Ja, das führt nicht weiter. Entweder schreibst Du das Vektorfeld in kartesischen Koordinaten

und berechnest dann rot(F) mit der bekannten Definition wie hier angegeben.

Einfacher geht es aber in Kugelkoordinaten. In Kugelkoordinaten ist nur die Koordinate zum Basisvektor e_r von null verschieden:

Nun die Rotation in Kugelkoordinaten wie hier angegeben darauf anwenden. Da

ist klar, dass rot(F)=0 gilt.

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 330

Ah oke danke. Komssidch, dass wir die Formel nie so besprochen haben grübelnd

Mit der d bin ich immer noch etwas überfordert.

Also wir wissen, dass dS nur eine Komponente in z Richtung haben kann

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202