Beweis dafür dass sich Licht geradlinig ausbreitet

Eichenhain · Anmeldungsdatum: 18.12.2023 Beiträge: 8 Wohnort: München

Meine Frage:
Hallo Leute, bin gerade mit einer Aufgabe beschäftigt:

In einem Medium mit ortsabhängigem Brechungsindex n(x, y, z) ist die lokale Lichtgeschwindigkeit (genauer: Phasenschnelligkeit) v = c/n, wo c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Die Reisezeit von A nach B längs irgendeines Weges r(? ) (? ist der Kurvenparameter) ist gegeben:

wo ds die Euklidische Länge eines kleinen Wegstücks ds = dr/d? ist.

Zeigen Sie, dass in homogenen Medien sich Licht geradlinig ausbreitet.

Meine Ideen:
Mein Ansatz besteht darin mit der Euler-Lagrange-Gleichung zu rechnen. Das r setzt sich zusammen aus den Koordinaten x,y und z. Oder anders:

dr/d? =

Man kann nun drei Euler-Lagrange Gleichungen aufstellen, jeweils eine für jede Koordinate und ein Gleichungssystem lösen. Das L ist uns gegeben über die Reisezeit des Lichts. Man bekommt dabei

, was genau die Bedingung für eine geradlinige Bewegung ist.

So zu meinem Ansatz. Ist dieser Ansatz nachvollziehbar?

Liebe Grüße