| Autor |
Nachricht |
DeltX
Gast
|
 DeltX Verfasst am: 03. Sep 2024 13:03 Titel: Berechenbarkeit Physik |
 |
|
Meine Frage:
Moin moin,
ich habe eine etwas ungewöhnliche Frage. Und zwar ist ja die Mathematik die Sprache der Physik, was an sich ja wunderbar ist, da es so zu einer präzisen Naturbeschreibung kommt. Meine daraus resultierende Frage ist nun: ist alles, eigentlich alles, was wir in der Natur beobachten, mathematisch beschreibbar und vor allem auch berechenbar?
Meine Ideen:
Ich würde jetzt fast sagen, dass der erste Teil der Frage nicht wirklich beantwortet werden kann (ob alles mathem. beschreibbar ist), da man dazu ja wirklich alles der Natur kennen muss. Und dem können wir uns ja niemals vollständig sicher sein.
Aber was vielleicht eher beantwortet werden kann, ob man alle bestehenden physikalischen Modelle vollständig berechnen kann. Meine eigene Vermutung ist, teilweise ja,aber präzise nein.
Als Beispiel fallen mir Differentialgleichungen ein, die sich nur numerisch lösen lassen. Hier sind durch numerische Verfahren definitiv approximative Lösungen vorhanden, allerdings keine exakten Lösungen.
Wie sehen das die Physiker hier?
Vielen Dank für die Antworten! |
|
 |
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
|
| TomS Verfasst am: 03. Sep 2024 15:51 Titel: Re: Berechenbarkeit Physik |
|
|
| DeltX hat Folgendes geschrieben: | | Meine daraus resultierende Frage ist nun: ist alles, eigentlich alles, was wir in der Natur beobachten, mathematisch beschreibbar und vor allem auch berechenbar? |
Beides wissen wir nicht.
Aber um Physik betreiben zu können, müssen wir die Hypothese aufstellen, dass zumindest ersteres für die uns interessierenden Phänomene tatsächlich der Fall ist.
Numerische Methoden stellen kein wirklich sinnvolles Gegenbeispiel dar. Wir wollen ja nicht unbedingt etwas exakt berechnen, lediglich hinreichend genau (bereits die Zahl Pi entzieht sich einer exakten Berechnung; wir ignorieren das aber und schreiben einfach Pi).
Letzteres – also die Berechenbarkeit – muss erst mal präzise definiert werden. Turing-Berechenbarkeit: Eine für alle natürlich Zahlen n definierte Funktion f(n), die natürliche Zahlen auf natürliche Zahlen abbildet, heißt Turing-berechenbar, wenn eine Turing-Maschine bzw. ein Algorithmus existiert, der für jede natürliche Zahl n in endlich vielen Schritten den Funktionswert f(n) ausgibt. Das gilt sicher nicht für diverse Probleme der Physik, aber es ist m.E. praktisch ziemlich irrelevant.
Ich könnte mir aber etwas anderes vorstellen, was sehr unerwünscht wäre, nämlich wenn in einer physikalischen Theorie wichtige Aussagen möglich wären, die weder mathematisch beweisbar noch widerlegbar wären. Nehmen wir an, wir hätten eine elegante Theorie gefunden, die Gravitation und Quantenphysik harmonisiert, aus der in diversen Spezialfällen etablierte Theorien folgen, die Probleme wie das Messproblem der QM löst, Effekte wie DM und DE einfach erklärt etc. Eine einfache Frage wäre: "entwickeln sich unter vernünftigen Annahmen Singularitäten?" Die Antwort, "es ist beweisbar, dass beide Antworten 'ja' und 'nein' unbeweisbar sind", wäre natürlich unschön.
Aber soweit sind wir noch lange nicht. Für Theorien wie die QED kann man m.W.n. nicht mal beweisen, dass sie überhaupt mathematisch existieren bzw. konsistent formuliert werden können.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 03. Sep 2024 16:31, insgesamt 2-mal bearbeitet |
|
|
DeltX
Gast
|
| DeltX Verfasst am: 03. Sep 2024 16:23 Titel: |
|
|
Danke für die Antwort.
Das die Hypothese der mathematischen Beschreibbarkeit für die physikalisch interessanten Phänomene gelten sollte, nehme ich auch definitiv an.
Zum zweiten, der Berechenbarkeit: sind eigentlich Phänomene bekannt, die sich prinzipiell womöglich mathematisch beschreiben lassen würden, aber nicht berechenbar sind? Eigentlich sollte dies doch in der Physik nicht vorkommen, da ohne Berechnung kein Überprüfung stattfinden kann?
Oder inwieweit muss die Berechenbarkeit nicht gegeben sein? |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
|
| TomS Verfasst am: 03. Sep 2024 16:28 Titel: |
|
|
Ich habe den Beitrag diesbezüglich ergänzt.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
DeltX
Gast
|
| DeltX Verfasst am: 03. Sep 2024 17:20 Titel: |
|
|
| Zitat: |
Letzteres – also die Berechenbarkeit – muss erst mal präzise definiert werden. Turing-Berechenbarkeit: Eine für alle natürlich Zahlen n definierte Funktion f(n), die natürliche Zahlen auf natürliche Zahlen abbildet, heißt Turing-berechenbar, wenn eine Turing-Maschine bzw. ein Algorithmus existiert, der für jede natürliche Zahl n in endlich vielen Schritten den Funktionswert f(n) ausgibt. Das gilt sicher nicht für diverse Probleme der Physik, aber es ist m.E. praktisch ziemlich irrelevant. |
Ich würde es schon als relevant erachten. Wenn die Berechenbarkeit nicht gegeben ist, kann man dann überhaupt aus einer Theorie überprüfbare Ergebnisse erhalten? Oder verstehe ich etwas nicht richtig?
| Zitat: | | Ich könnte mir aber etwas anderes vorstellen, was sehr unerwünscht wäre, nämlich wenn in einer physikalischen Theorie wichtige Aussagen möglich wären, die weder mathematisch beweisbar noch widerlegbar wären. Nehmen wir an, wir hätten eine elegante Theorie gefunden, die Gravitation und Quantenphysik harmonisiert, aus der in diversen Spezialfällen etablierte Theorien folgen, die Probleme wie das Messproblem der QM löst, Effekte wie DM und DE einfach erklärt etc. Eine einfache Frage wäre: "entwickeln sich unter vernünftigen Annahmen Singularitäten?" Die Antwort, "es ist beweisbar, dass beide Antworten 'ja' und 'nein' unbeweisbar sind", wäre natürlich unschön. |
Denkst du hier in die Richtung "Unvollständigkeitssatz" von Gödel? Ich würde mich allerdings schon fragen, wie solch eine Theorie aussehen sollte...
| Zitat: |
Aber soweit sind wir noch lange nicht. Für Theorien wie die QED kann man m.W.n. nicht mal beweisen, dass sie überhaupt mathematisch existieren bzw. konsistent formuliert werden können. |
Oh, so etwas hätte ich jetzt nicht erwartet. Wie kann eine Theorie mathematisch nicht existieren, wenn ich damit etwas sinnvoll überprüfbares berechnen kann? |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
|
| TomS Verfasst am: 03. Sep 2024 19:43 Titel: |
|
|
| DeltX hat Folgendes geschrieben: | | Ich würde es schon als relevant erachten. Wenn die Berechenbarkeit nicht gegeben ist, kann man dann überhaupt aus einer Theorie überprüfbare Ergebnisse erhalten? Oder verstehe ich etwas nicht richtig? |
Turing-Berechenbarkeit ist nicht gegeben, d.h. kein Algorithmus spuckt nach endlicher Zeit die exakte Lösung aus.
Aber wenn ein Algorithmus nach endlicher Zeit einen Näherungswert ausspuckt, der deutlich unter der Messungenauigkeit liegt, ist für den Physiker bzgl. der kritischen Überprüfung alles ok.
| DeltX hat Folgendes geschrieben: | | Denkst du hier in die Richtung "Unvollständigkeitssatz" von Gödel? |
Ja, in diese Richtung.
| DeltX hat Folgendes geschrieben: | | Oh, so etwas hätte ich jetzt nicht erwartet. Wie kann eine Theorie mathematisch nicht existieren, wenn ich damit etwas sinnvoll überprüfbares berechnen kann? |
Nun, die bekannte "Theorie" T kann eine gewissermaßen unzulässige Umformulierung von einem unbekannten Etwas E darstellen, wobei E mathematisch wohldefiniert ist, die Theorie T selbst nicht, man jedoch aus T "formale Näherung" t_0, t_1 … gewinnen kann, die in gewissen Grenzen tatsächlich zutreffende Näherungen für E darstellen
Für n < N folgen aus dem mathematisch an sich sinnlosen T brauchbare Näherung t_n für E. Für n > N werden die Näherung schlechter, und der Grenzübergang ist sinnlos, d.h.
Das ist wohl der Fall für die Störungsreihe einer QFT.
Hier
https://en.wikipedia.org/wiki/Asymptotic_expansion
findest du Beispiele, wobei man das E kennt, daraus ein ungültiges T gewinnt, und daraus wiederum gültige t_n. Dass dies so ist, kann man natürlich nur wissen, weil man E kennt. In der Physik ist E keine exakt bekannte Theorie, sondern eine Menge an Experimenten, die die t_n bestätigen.
Dass jedoch bestimmte QFTs mathematisch rigoros konstruiert werden können, ziehen sogar die Mathematiker in Betracht:
https://en.wikipedia.org/wiki/Yang%E2%80%93Mills_existence_and_mass_gap
Das interessante ist, dass die QCD in diese Klasse von Theorien fällt.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 03. Sep 2024 22:49, insgesamt 6-mal bearbeitet |
|
|
DeltX
Gast
|
| DeltX Verfasst am: 03. Sep 2024 20:09 Titel: |
|
|
| Zitat: | | Turing-Berechenbarkeit ist nicht gegeben, d.h. kein Algorithmus spuckt nach endlicher Zeit die exakte Lösung aus. |
Oh, das verstehe ich tatsächlich nicht. Ich dachte, wenn ich die entsprechenden Gleichungen der physikalischen Theorien sind Turing-berechenbar? Zb in der Mechanik usw. Warum sind sie es nicht? |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
|
| TomS Verfasst am: 03. Sep 2024 20:24 Titel: |
|
|
| DeltX hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Turing-Berechenbarkeit ist nicht gegeben, d.h. kein Algorithmus spuckt nach endlicher Zeit die exakte Lösung aus. |
Oh, das verstehe ich tatsächlich nicht. Ich dachte, wenn ich die entsprechenden Gleichungen der physikalischen Theorien sind Turing-berechenbar? Zb in der Mechanik usw. Warum sind sie es nicht? |
Weil ihre Ergebnisse reelle Zahlen sind, eine Turing-Maschine in endlich vielen Schritten jedoch nur endlich viele Ziffern liefern kann.
Nun könntest du natürlich einwenden, dass man ja nicht direkt an der Zahl sondern an der Formel interessiert ist; aber auch dafür gibt es oft keine geschlossene Lösung sondern z.B. Entwicklungen nach unendlichen Reihen.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
derspammerdesherrn
Gast
|
| derspammerdesherrn Verfasst am: 03. Sep 2024 20:24 Titel: |
|
|
Warum so kompliziert?
So etwas wie unendlich gibt es in der Natur sicher nicht, in der Mathematik rechnet man fröhlich damit herum. |
|
|
DeltX
Gast
|
| DeltX Verfasst am: 03. Sep 2024 20:48 Titel: |
|
|
| Zitat: | Weil ihre Ergebnisse reelle Zahlen sind, eine Turing-Maschine in endlich vielen Schritten jedoch nur endlich viele Ziffern liefern kann.
|
Ahhh, alles klar. Deshalb bricht dann auch ein entsprechender Algorithmus nach dem N Glied die Brechnung ab?
Ich habe das ganze wahrscheinlich zu banal betrachtet. Zur Berechenbarkeit gehört ja auch, dass der Algorithmus, wie du schon geschrieben hast, in einer endlichen Zeit zum Ergebnis kommt.
Wenn ich mit reellen Zahlen rechne, funktioniert das ganze ja nur, da ich nach einem bestimmten Glied abbreche, wenn die Genauigkeit ausreicht.
| Zitat: | | Nun könntest du natürlich einwenden, dass man ja nicht direkt an der Zahl sondern an der Formel interessiert ist; aber auch dafür gibt es oft keine geschlossene Lösung sondern z.B. Entwicklungen nach unendlichen Reihen. |
Auch hier brechen die Algorithmen wieder nach einem gewissen Glied ab, oder?
Wirklich nochmal Danke für die Hilfe hier  |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
|
| TomS Verfasst am: 03. Sep 2024 20:51 Titel: |
|
|
Ja, in beiden Fällen wird eingebaut, dass der Algorithmus terminiert.
Hast du das Beispiel mit den asymptotischen Reihen verstanden?
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
DeltX
Gast
|
| DeltX Verfasst am: 03. Sep 2024 22:16 Titel: |
|
|
|
Nein, das habe ich noch nicht ganz verstanden. Werde es mir morgen früh nochmal anschauen |
|
|
DeltX
Gast
|
| DeltX Verfasst am: 04. Sep 2024 06:15 Titel: |
|
|
So, ich habe es mir nochmal angesehen.
Das widersprüchliche Element ist also, dass bei großen n die Funktionskurven überhaupt nicht mehr übereinstimmen? Und funktionieren tut die Theorie nur, weil sich bei genügend kleinen n die Funktionsverläufe annähernd decken? |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
|
| TomS Verfasst am: 04. Sep 2024 06:54 Titel: |
|
|
Jein.
Das ist noch nicht der Kern der Aussage.
Es ging darum:
| DeltX hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Für Theorien wie die QED kann man m.W.n. nicht mal beweisen, dass sie überhaupt mathematisch existieren bzw. konsistent formuliert werden können. |
Wie kann eine Theorie mathematisch nicht existieren, wenn ich damit etwas sinnvoll überprüfbares berechnen kann? |
Nochmal zurück zum Beispiel der asymptotischen Reihe aus Wikipedia
 {\color{red} = \sum_{k=0}^\infty k! \, s^{k+1}})
Die linke Seite E, also
 = e^{-\frac {1}{s}} \text{Ei} \left(\frac {1}{s}\right))
ist eine präzise definierte mathematische Funktion.
Die rechte Seite
 = \sum_{k=0}^\infty k! \, s^{k+1}})
gewinnt man mittels einer Rechnung, die eine nicht erlaubte Umformung enthält. Die Reihe ist für alle s ≠ 0 divergent, das mathematische Objekt T existiert nicht (außer für s = 0).
Allerdings existiert das, was ich oben t_n genannt habe, also
 = \sum_{k=0}^n k! \, s^{k+1})
Schränkt man die Summation des undefinierten Objektes T auf eine endliche Obergrenze n ein, so liefert die nun wohldefinierte Summe für einen gewissen Bereich von s tatsächlich eine sinnvolle Näherung für E, also
 \simeq t_n(s))
Zusammenfassung: man gewinnt aus dem wohldefinierten E ein sinnlos T, daraus jedoch sinnvolle Näherungen t_n für E.
Soweit klar?
Nun zu den Theorien: das wäre z.B. die Entsprechung
E = mathematisch korrekte Definition; kennen wir nicht
T = Pfadintegral der QED; mathematisch nicht definiert; hilft aber, um t_n zu erzeugen
t_n = sogenannte Störungsreihe n-ter Ordnung; liefert tatsächlich hervorragende Übereinstimmung mit dem Experiment
Der Unterschied zu oben ist, dass wir E nicht kennen, nur das an sich undefinierte T, daraus jedoch sinnvolle Ergebnisse ableiten können, und deswegen glauben, dass es irgendein E geben muss, das mathematisch sinnvoll ist; das wäre dann die eigentliche Theorie.
Für die QED hält man dies aus gewissen Gründen für wenig sinnvoll; für die QCD gibt es Indizien, aufgrund derer man glaubt, dass E tatsächlich existieren könnte.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 04. Sep 2024 14:35, insgesamt 5-mal bearbeitet |
|
|
DeltX
Gast
|
| DeltX Verfasst am: 04. Sep 2024 07:14 Titel: |
|
|
T(s) existiert also nicht, da es gegen unendlich divergiert? Und warum akzeptiert man eine mathematisch nicht erlaubte Umformung?
Aber eigentlich sollte doch die Beschränkung der Summe bis zum n-Glied kein Problem für die Physik darstellen, wenn brauchbare Ergebnisse heraus kommen. Wobei es vermutlich schöner wäre, wenn der Weg dorthin sauberer wäre. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
|
| TomS Verfasst am: 04. Sep 2024 07:35 Titel: |
|
|
Die nicht erlaubte Umformung für das Beispiel aus Wikipedia soll nur zeigen, dass eine nicht erlaubte Umformung zunächst etwas sinnlos liefert, woraus witzigerweise ggf. wieder eine sinnvolle Näherung folgen kann.
Im Falle der QED kennen wir das E nicht, es geht also nicht um eine Umformung. Es geht um ein Rezept, das die Physiker Quantisierung nennen, mittels dessen man aus einer klassischen Theorie wie der Elektrodynamik eine Quantenfeldtheorie wie die QED gewinnt. Leider stellt man fest, dass diese Theorie auf einem Objekt T * basiert, das analog zum Beispiel nicht definiert ist. Es geht also nicht um eine Umformung von einem bekannten E sondern direkt um die Konstruktion von E – wobei man aber leider nur bei T landet.
* es gibt verschiedene Quantisierungsmethoden; jede hat sozusagen "ihr" T, und jede leidet letztlich unter dem selben Problem, dass T mathematisch sinnlos ist.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 04. Sep 2024 07:55, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
|
| TomS Verfasst am: 04. Sep 2024 07:46 Titel: |
|
|
Vielleicht ganz interessant:
https://www.phys.ufl.edu/~ramond/Chapter3_CUP.pdf
Im Übergang von (3.5) zu (3.6) steckt jahrelange Arbeit und ein Nobelpreis.
Trotzdem ist (3.6) mathematisch undefiniert, in der Folge auch alles mögliche andere – funktioniert aber trotzdem in der Praxis.
Im Detail sähe die "Konstruktion" von (3.6) so aus:
https://eduardo.physics.illinois.edu/phys582/582-chapter5-edited.pdf
The path integral is an intuitive tool that often leads to correct results, but its rigorous foundation remains elusive, especially when dealing with infinite-dimensional spaces.
(nach Sir Michael Atiyah)
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
DeltX
Gast
|
| DeltX Verfasst am: 04. Sep 2024 11:14 Titel: |
|
|
Okay, jetzt ist es mit den Anmerkungen etwas verständlicher geworden, zumindest denke ich das. Oben gehört zwischen T(s) und der divergenten Folge noch ein Gleichheitszeichen, oder?
Mal ganz kurz: warum existiert T als mathematisches Objekt nicht, wenn es divergiert? Es gibt doch zahlreiche divergente Reihen und Folgen.
Betrifft dieses Problem eigentlich nur die Quantenfeldtheorien oder auch die klassische Quantenmechanik? |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
|
| TomS Verfasst am: 04. Sep 2024 13:32 Titel: |
|
|
| DeltX hat Folgendes geschrieben: | | Okay, jetzt ist es mit den Anmerkungen etwas verständlicher geworden, zumindest denke ich das. Oben gehört zwischen T(s) und der divergenten Folge noch ein Gleichheitszeichen, oder? |
Ja.
| DeltX hat Folgendes geschrieben: | | Mal ganz kurz: warum existiert T als mathematisches Objekt nicht, wenn es divergiert? Es gibt doch zahlreiche divergente Reihen und Folgen. |
In welchem Sinne existiert 1/0?
T existiert in gewisser Weise als formaler Ausdruck, der zu einem nützlichen Werkzeug wird, wenn man die obere Grenze der Summation auf einen endlichen Wert setzt.
Die Frage ist, wo eine Reihe konvergiert und wo sie divergiert. Viele asymptotische Reihen haben einen Konvergenzradius von Null, im vorliegenden Fall existiert ausschließlich T(0) = 0.
| DeltX hat Folgendes geschrieben: | | Betrifft dieses Problem eigentlich nur die Quantenfeldtheorien oder auch die klassische Quantenmechanik? |
Letztere hat das Problem nicht.
Evtl. ist auch in der QM das Pfadintegral letztlich noch etwas problematisch, aber man kann viele Modelle mittels Methoden der Funktionalanalysis mathematisch sauber definieren. In der QFT geht das m.W.n. ausschließlich in irrelevanten Spezialfällen (keine Wechselwirkung, eine Raumdimension …)
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 04. Sep 2024 13:54, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
DeltX
Gast
|
| DeltX Verfasst am: 04. Sep 2024 14:48 Titel: |
|
|
| Zitat: | In welchem Sinne existiert 1/0?
T existiert in gewisser Weise als formaler Ausdruck, der zu einem nützlichen Werkzeug wird, wenn man die obere Grenze der Summation auf einen endlichen Wert setzt.
Die Frage ist, wo eine Reihe konvergiert und wo sie divergiert. Viele asymptotische Reihen haben einen Konvergenzradius von Null, im vorliegenden Fall existiert ausschließlich T(0) = 0.
|
Das stimmt, wenn der Ausdruck gegen unendlich divergiert, ist er nicht besonders nützlich. Trotzdem würde ich eigentlich sagen, dass dieses mathematische Objekt existiert, oder was spricht prinzipiell dagegen?
Ich muss auch sagen, dass ich in der beschriebenen Problematik zur Quantenfeldtheorie nichts extrem widersprüchlichen sehe. Der Weg ist halt eher unkonventionell, wenn man das so sagen kann. Aber ich bin in dieser Hinsicht ja auch nur Laie  |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
|
| TomS Verfasst am: 04. Sep 2024 14:58 Titel: |
|
|
Mir fällt noch ein einfacheres Beispiel ein:
Gegeben sei eine "Herleitung", die wir für eine Variable s > 1 durchführen und die
 = \sum_{k=0}^\infty s^k)
liefert. Wiederum ist T divergent.
Nun interessieren wir uns aber für
und dafür ist T(s) definiert und liefert sinnvolle Näherungen.
Natürlich "sehen" wir, dass wir es "eigentlich" mit
 = \frac{1}{1 - s})
zu tun haben, wir also T(s) vergessen können.
Bei unseren Quantenfeldtheorien "sehen" wir dieses E aber leider nicht, vermuten jedoch, dass es da ist.
Siehe auch diese Methode:
https://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_function_regularization
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
DeltX
Gast
|
| DeltX Verfasst am: 04. Sep 2024 17:18 Titel: |
|
|
Also so gesehen ist dann das ganze noch in der Forschungsphase?
Wo ich gerade nochmal nachhaken will: sind nun divergente Reihen/Folgen nun mathematisch existierende Objekte? In jedem Mathebuch, was ich bis jetzt in der Hand hatte, war nicht die Rede davon, dass sie mathematisch nicht existieren 😅 |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
|
| TomS Verfasst am: 04. Sep 2024 19:24 Titel: |
|
|
| DeltX hat Folgendes geschrieben: | | Also so gesehen ist dann das ganze noch in der Forschungsphase? |
Nee, wir haben schon alles erforscht, vertuschen das jedoch wegen der Drittmittel und der super Arbeitsbedingungen.
Ernsthaft: Ja!
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_unsolved_problems_in_physics#Quantum_physics
| DeltX hat Folgendes geschrieben: | | Wo ich gerade nochmal nachhaken will: sind nun divergente Reihen/Folgen nun mathematisch existierende Objekte? In jedem Mathebuch, was ich bis jetzt in der Hand hatte, war nicht die Rede davon, dass sie mathematisch nicht existieren 😅 |
Das musst du besser jemanden fragen, der sich mit der Philosophie der Mathematik befasst.
Für mich ist die o.g. geometrische Reihe zunächst nur auf ihrem Definitions- d.h. auf ihrem Konvergenzbereich sinnvoll. Offenbar kann man jedoch auch Objekten einen Sinn abgewinnen, die nicht konvergieren. Daher würde ich evtl. unterscheiden zwischen "existent als Abbildung", z.B. als Funktion von den komplexen auf die komplexen Zahlen, und "existent als formales Objekt", als Werkzeug.
Insofern existiert dann das Pfadintegral der QED als formales Objekt, denn man kann wiederum durch formale Methoden Dinge extrahieren, die als konkrete Funktionen zutreffende Werte liefern. Als Funktion, die eine Zahl liefert, ist es sinnlos.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
DeltX
Gast
|
| DeltX Verfasst am: 05. Sep 2024 07:09 Titel: |
|
|
Vielen Dank für die Antwort!
Noch ganz schnell zum Abschluss: warum ist es mathematischen überhaupt unzulässig, die Summe anstatt gegen ein unendliches k gegen ein endlichen n laufen zu lassen? Und wenn es mathematisch unzulässig ist: warum wird es dann in der Physik überhaupt akzeptiert? Da müssten die Mathematiker doch eigentlich alle protestieren. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
|
| TomS Verfasst am: 05. Sep 2024 07:49 Titel: |
|
|
| DeltX hat Folgendes geschrieben: | | warum ist es mathematischen überhaupt unzulässig, die Summe anstatt gegen ein unendliches k gegen ein endlichen n laufen zu lassen? |
Die endliche Summe von k=0 bis n ist natürlich zulässig. Das sind ja gerade die o.g. t_n, die mathematisch sinnvoll definiert sind und anhand von Experimenten bestätigte extrem gute Näherungswerte liefern.
Gerade weil das so ist, hält man ja T nicht für völligen Nonsense, sondern glaubt, dass es ein E gibt, für das T nur eine ungeschickte Darstellung ist.
Konkret: Man betrachtet in der QFT und da insbs. in der Streutheorie, Amplituden für ein- und auslaufende in Teilchen, sogenannte in- und out-Zustände. Die Amplitude A hängt von den Sorte, den Impulsen und den Spins der in- und out-Zustände ab. Mittels des Pfadintegrals findet man eine sogenannte effektive Wirkung, aus der die Amplituden A folgen.
Die Amplitude ist gegeben durch eine formale Taylorentwicklung in einer künstlich eingeführten Funktion J um J=0. Die effektive Wirkung spielt also die Rolle einer sogenannten erzeugenden Funktion.
Diese Amplitude A ist nun eine Funktion der Impulse und der Spins führt auf eine Darstellung
g ist die Kopplungskonstante, d.h. wir haben zunächst eine Taylor-Entwicklung um g=0. Die Summe je Potenz k läuft über alle Feynman-Diagramme, nummeriert mit f, die in dieser Ordnung und für diesen Prozess beitragen; jedes I in dieser Summe ist ein Feynman-Integral; deren Form folgt wiederum aus der effektiven Wirkung.
Nun kann man für die QFTs wie QED und QCD mathematisch beweisen, dass * je Ordnung k die Summen
allesamt endlich sind, dass das so berechnete A alle Symmetrien respektiert, dass insbs. die S-Matrix unitär ist u.a.
Die Taylorreihe
ist vermutlich eine asymptotische Reihe, deren Konvergenzradius um g=0 Null ist, d.h.
jedoch liefert
} = \sum_{k=0}^N g^k a_k)
für kleine N ** alles, was wir am LHC und anderen Beschleunigern messen – in hervorragender Übereinstimmung mit dem Experiment.
D.h. wir sind sicher, dass die endlichen Ausdrücke zutreffen, und wir glauben, dass hinter der effektiven Wirkung etwas mathematisch Wohldefiniertes steckt, für das wir bisher nur eine "ungeschickte" Formulierung vorliegen haben.
* nach Renormierung und für bestimmte Bereiche der Impulse
** weil wir aufgrund der Komplexität nicht in der Lage sind, die I's für größere auszurechnen
https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_action
https://de.wikipedia.org/wiki/Erzeugende_Funktion
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
DeltX
Gast
|
| DeltX Verfasst am: 05. Sep 2024 18:47 Titel: |
|
|
Nochmals vielen Dank für die Ausführung.
Eine verbotene mathematische Operation kann ich hier nun aber nicht erkennen. Eher einen skurrilen Weg, wie man zu der Näherung kommt. Oder habe ich da etwas übersehen? |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
|
| TomS Verfasst am: 05. Sep 2024 21:00 Titel: |
|
|
| DeltX hat Folgendes geschrieben: | | Eine verbotene mathematische Operation kann ich hier nun aber nicht erkennen. Eher einen skurrilen Weg, wie man zu der Näherung kommt. Oder habe ich da etwas übersehen? |
Verboten wäre die im ersten Beispiel der asymptotischen Reihe durchgeführte Vertauschung
Völlig undefiniert ist dagegen meines Wissens nach
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
DeltX
Gast
|
| DeltX Verfasst am: 05. Sep 2024 21:36 Titel: |
|
|
Nur warum werden dann solche verbotenen Operationen in der Quantenfeldtheorie einfach toleriert?
Da müssten doch eigentlich die Mathematiker protestieren. |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
|
| jh8979 Verfasst am: 05. Sep 2024 22:01 Titel: |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Völlig undefiniert ist dagegen meines Wissens nach
|
Na ja... "völlig" würde ich nicht sagen  aber Mathematiker sind sicher nicht zufrieden... macht zum Glück nichts 
| DeltX hat Folgendes geschrieben: | Nur warum werden dann solche verbotenen Operationen in der Quantenfeldtheorie einfach toleriert?
Da müssten doch eigentlich die Mathematiker protestieren. |
Weil sie funktioniert ... darum interessiert Mathematiker auch, ob man es irgendwie mathematisch befriedigend definieren könnte. |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
|
| TomS Verfasst am: 05. Sep 2024 22:11 Titel: |
|
|
| DeltX hat Folgendes geschrieben: | Nur warum werden dann solche verbotenen Operationen in der Quantenfeldtheorie einfach toleriert?
Da müssten doch eigentlich die Mathematiker protestieren. |
Heisenberg wollte zunächst Mathematik studieren. Als er bei einen Gespräch dem Münchener Mathematikprofessor von Lindemann berichtete, er habe sich mit der Relativitätstheorie Einsteins befasst und Weyls Buch dazu gelesen hatte, meinte der nur: "Dann sind Sie für die Mathematik sowieso schon verdorben".
Ernsthaft: Wenn aus den o.g. undefinierten Objekten der Physiker eine Genauigkeit dieser Art …
https://en.wikipedia.org/wiki/Anomalous_magnetic_dipole_moment
… folgt, kann das den Physikern egal sein.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
DeltX
Gast
|
| DeltX Verfasst am: 06. Sep 2024 17:40 Titel: |
|
|
Ja, das verstehe ich.
Ich dachte auch eher, dass da "schlimmere mathematisch unzulässige" Handlungen mit gemeint wären (in etwa auf dem Niveau "in der Summe kürzen usw.). |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5740
|
| DrStupid Verfasst am: 06. Sep 2024 18:58 Titel: |
|
|
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | ... darum interessiert Mathematiker auch, ob man es irgendwie mathematisch befriedigend definieren könnte. |
Das wäre ja nicht das erste Mal. Als Dirac seine Delta-Funktion eingeführt hat, haben die Mathematiker auch erstmal entnervt mit den Augen gerollt. Dann haben sie Distributionen erfunden und alles war wieder gut. |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
|
| jh8979 Verfasst am: 06. Sep 2024 20:03 Titel: |
|
|
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | ... darum interessiert Mathematiker auch, ob man es irgendwie mathematisch befriedigend definieren könnte. |
Das wäre ja nicht das erste Mal. Als Dirac seine Delta-Funktion eingeführt hat, haben die Mathematiker auch erstmal entnervt mit den Augen gerollt. Dann haben sie Distributionen erfunden und alles war wieder gut. |
Richtig, infinitesimale Größen, mit denen Physiker schon lange vor einer Definition der hyperrellen Zahlen fröhlich hantierten, wäen ein weiteres Beispiel.
Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 06. Sep 2024 22:42, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
|
| TomS Verfasst am: 06. Sep 2024 21:29 Titel: |
|
|
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Das wäre ja nicht das erste Mal. Als Dirac seine Delta-Funktion eingeführt hat, haben die Mathematiker auch erstmal entnervt mit den Augen gerollt. Dann haben sie Distributionen erfunden und alles war wieder gut. |
Dirac hat die Delta-Funktion nicht "erfunden", sowas in der Art hat schon Cauchy diskutiert. Und Cauchy war Mathematiker 🙃
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
