Herleitung der Kohn-Sham Gleichungen nach J.J. Sakurai

4lex · Gast

Meine Frage:
Hallo zusammen

Im Buch ,,Modern Quantum Mechanics" Third Edition von J.J. Sakurai und Jim Napolitano werden auf den Seiten 449 und 448 Die Kohn-Sham Gleichungen über Variation des Funktionals

hergeleitet.
Dabei ist

und somit

.

Unter Beachtung der Nebenbedingung

folgt nun mit Variation

was zusammengefasst

entspricht.

Unter Nutzung von

folgt dann

und daraus

Schlussendlich landet man bei

Das Endergebnis soll nun laut Buch mit der allgemeinen Form

verglichen werden und daraus die Form von

abgelesen werden.

Was dabei für mich nicht ganz klar ist, ist die Herleitung von

die laut Buch unter Nutzung von

folgen soll. Ausgeführt ist dies im Buch aber nicht. Ich habs unten mal probiert. Bin mir aber nicht sicher ob es so stimmt.

Wichtig zu erwähnen ist noch das H_KS nach meiner Einschätzung einmal als Ein-Teilchen-Operator gedacht ist und einmal als Summe von Ein-Teilchen Operatoren, was etwas verwirrend ist, da man es im Buch besser h_ks und H_KS hätte nennen sollen. Zumindest scheinen mir die im Buch verwendeten Formeln

und

den Eindruck zu machen

Meine Ideen:
Meine Idee soweit wäre

von links mit

zu multiplizieren und dann über alle j zu summieren. Dann hätte man

und man könnte mit

schon mal zu

vereinfachen. Wenn man dies noch integriert erhält man

Das sollte dann

entsprechen, denn im Buch ist

gegeben. Ich müsste dann nur wieder die Indizes i an die x und das Nabla machen.

Das ganze müsste dann wiederum

entsprechen.

Und der Rest dann wie zuvor unter der Annahme

und mit Variation. Also

Mit

und dann wieder

Woraus mit

folgt

und somit

und daraus schlussendlich

Wenn da jemand netterweise drauf gucken könnte, könnte man sich sicher sein, dass es stimmt.

LaTeX korrigiert, zweiten Beitrag deswegen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen