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Yoshi2000
Gast
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 Yoshi2000 Verfasst am: 25. Aug 2026 22:52 Titel: Statistische Entropie in isoliertem System |
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Die von-Neumann-Entropie eines isolierten Systems
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ändert sich unter der unitären Zeitentwicklung nicht.
Von-Neumann-Gleichung:
Dann folgt:
 = \frac{ik}{\hbar} \mathrm{Tr}([H,\rho] \ln \rho)=0 )
Damit kann es nach der von neumann dynamik nie in Zustände wachsender Entropie evolvieren im Widerspruch zur Thermodynamik. Was ist hier falsch? |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2150
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 27. Aug 2026 10:31 Titel: |
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Wo siehst du hier einen Widerspruch?
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Ihr da Ohm macht doch Watt ihr Volt! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21593
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| TomS Verfasst am: 27. Aug 2026 11:58 Titel: Re: Statistische Entropie in isoliertem System |
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| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | Damit kann es nach der von neumann dynamik nie in Zustände wachsender Entropie evolvieren im Widerspruch zur Thermodynamik. Was ist hier falsch? |
Nichts.
Die Entropie eines reinen Zustandes ist exakt Null. Die Entropie eines Systems mit zeitunabhängigem Hamiltonoperator ist konstant.
Für explizit zeitabhängiges H(t) offene Systeme etc. sind diese Voraussetzungen nicht mehr gegeben, und damit wäre auch die Entropie nicht konstant.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Yoshi2000
Gast
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| Yoshi2000 Verfasst am: 27. Aug 2026 19:54 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | | Wo siehst du hier einen Widerspruch? |
Nach dem zweiten Hauptsatz wächst die Entropie, wenn das System in einem Nichtgleichgewichtszustand ist. |
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Yoshi2000
Gast
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| Yoshi2000 Verfasst am: 27. Aug 2026 19:55 Titel: Re: Statistische Entropie in isoliertem System |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | Damit kann es nach der von neumann dynamik nie in Zustände wachsender Entropie evolvieren im Widerspruch zur Thermodynamik. Was ist hier falsch? |
Nichts.
Die Entropie eines reinen Zustandes ist exakt Null. Die Entropie eines Systems mit zeitunabhängigem Hamiltonoperator ist konstant.
Für explizit zeitabhängiges H(t) offene Systeme etc. sind diese Voraussetzungen nicht mehr gegeben, und damit wäre auch die Entropie nicht konstant. |
Ich betrachte hier aber keinen reinen Zustand, sondern die dynamik einer Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zuständen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21593
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| TomS Verfasst am: 27. Aug 2026 21:03 Titel: Re: Statistische Entropie in isoliertem System |
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| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | Damit kann es nach der von neumann dynamik nie in Zustände wachsender Entropie evolvieren im Widerspruch zur Thermodynamik. Was ist hier falsch? |
Nichts.
Die Entropie eines reinen Zustandes ist exakt Null. Die Entropie eines Systems mit zeitunabhängigem Hamiltonoperator ist konstant.
Für explizit zeitabhängiges H(t) offene Systeme etc. sind diese Voraussetzungen nicht mehr gegeben, und damit wäre auch die Entropie nicht konstant. |
Ich betrachte hier aber keinen reinen Zustand, sondern die dynamik einer Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zuständen. |
Das ist mir schon klar. Deswegen schreibe ich "die Entropie eines Systems mit zeitunabhängigem Hamiltonoperator ist konstant". Das gilt dann auch für gemischte Zustände. |
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Yoshi2000
Gast
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| Yoshi2000 Verfasst am: 27. Aug 2026 21:47 Titel: Re: Statistische Entropie in isoliertem System |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | Damit kann es nach der von neumann dynamik nie in Zustände wachsender Entropie evolvieren im Widerspruch zur Thermodynamik. Was ist hier falsch? |
Nichts.
Die Entropie eines reinen Zustandes ist exakt Null. Die Entropie eines Systems mit zeitunabhängigem Hamiltonoperator ist konstant.
Für explizit zeitabhängiges H(t) offene Systeme etc. sind diese Voraussetzungen nicht mehr gegeben, und damit wäre auch die Entropie nicht konstant. |
Ich betrachte hier aber keinen reinen Zustand, sondern die dynamik einer Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zuständen. |
Das ist mir schon klar. Deswegen schreibe ich "die Entropie eines Systems mit zeitunabhängigem Hamiltonoperator ist konstant". Das gilt dann auch für gemischte Zustände. |
Warum steigt dann nach dem zweiten Hauptsatz die Entropie, wenn das System sich aus einem Nicht Gleichgewichtszustand entwickelt? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21593
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| TomS Verfasst am: 27. Aug 2026 22:21 Titel: |
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Weil du nun außerhalb des Gleichgewichtes etwas hast, was das System irgendwie treibt.
Wenn du z.B. ein offenes System betrachtest, das Energie oder Teilchen mit einer externen Umgebung wie einem Wärmebad austauscht, und für das eine Markov-Näherung gilt, erhältst du statt der von-Neumann- die Lindblad-Mastergleichung
https://en.wikipedia.org/wiki/Lindbladian
Jetzt erst ist die Dynamik nicht-unitär und die Entropie nicht mehr konstant. |
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Yoshi2000
Gast
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| Yoshi2000 Verfasst am: 27. Aug 2026 22:35 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Weil du nun außerhalb des Gleichgewichtes etwas hast, was das System irgendwie treibt.
Wenn du z.B. ein offenes System betrachtest, das Energie oder Teilchen mit einer externen Umgebung wie einem Wärmebad austauscht, und für das eine Markov-Näherung gilt, erhältst du statt der von-Neumann- die Lindblad-Mastergleichung
Jetzt erst ist die Dynamik nicht-unitär und die Entropie nicht mehr konstant. |
Ich muss nichts haben was das System treibt.
Angenommen ich präpariere einen Kasten mit Gas, so dass das Gas komplett auf der linken Hälfte des Kastens ist. Dabei kenne ich nicht den Mikrozustand, sondern es geht nur darum dass Zustände mit Teilchen sind auf der rechten Seite Wahrscheinlichkeit 0 haben. Von da ab an betrachte ich das System als isoliert. Es evolviert in ein Gleichgewicht (alle zugänglichen Mikrozustände gleich wahrscheinlich). Auf dem Weg dorthin folgt es der Liouville-Dynamik für geschlossene Systeme und durchläuft Nichtgleichgewichtszustände.
Nach dem zweiten Hauptsatz gilt dS>0. Für die von Neumann Entropie gilt dS=0.
Nur für die Präparation um es in den Anfangszustand zu versetzen (alle Teilchen auf der linken Hälfte) musste das System offen sein, aber für die anschließende Dynamik ist es isoliert. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21593
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| TomS Verfasst am: 28. Aug 2026 08:36 Titel: |
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Ich muss vorausschicken, dass ich mich zur Quantenstatistik von nicht-Gleichgewichtssystem nicht wirklich gut auskenne.
Meiner Meinung nach läuft es letztlich wieder auf das folgende hinaus: Die mikroskopische von-Neumann-Entropie eines abgeschlossenen Systems ist aufgrund der unitären Dynamik konstant; sie ist also in deinem Fall nicht die geeignete Größe. Man betrachtet stattdessen künstliche Subsysteme, die sich jeweils im lokalen thermodynamischen Gleichgewicht befinden, jedoch nicht untereinander; zwischen diesen gebe es außerdem Wechselwirkungen. Nun wählt man eines der Subsystems aus und betrachtet dessen reduzierten Dichteoperator, d.h. man spurt alle anderen Systeme aus – siehe
https://en.wikipedia.org/wiki/Nakajima%E2%80%93Zwanzig_equation
Damit erhält man wieder eine nicht-unitäre Dynamik dieses Subsystems, und daher für dieses Subsystem auch eine i.A. nicht-konstante Entropie – siehe quantum H-theorem. |
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Yoshi2000
Gast
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| Yoshi2000 Verfasst am: 28. Aug 2026 13:08 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ich muss vorausschicken, dass ich mich zur Quantenstatistik von nicht-Gleichgewichtssystem nicht wirklich gut auskenne.
Meiner Meinung nach läuft es letztlich wieder auf das folgende hinaus: Die mikroskopische von-Neumann-Entropie eines abgeschlossenen Systems ist aufgrund der unitären Dynamik konstant; sie ist also in deinem Fall nicht die geeignete Größe. Man betrachtet stattdessen künstliche Subsysteme, die sich jeweils im lokalen thermodynamischen Gleichgewicht befinden, jedoch nicht untereinander; zwischen diesen gebe es außerdem Wechselwirkungen. Nun wählt man eines der Subsystems aus und betrachtet dessen reduzierten Dichteoperator, d.h. man spurt alle anderen Systeme aus
Damit erhält man wieder eine nicht-unitäre Dynamik dieses Subsystems, und daher für dieses Subsystem auch eine i.A. nicht-konstante Entropie – siehe quantum H-theorem. |
Mir ging es nicht unbedingt um Quantenstatistik. Klassische Statistik reicht mir auch.
Ich habe mir auch Gedanken gemacht. Meine Erklärung geht so.
Ein makroskopischer Beobachter verfolgt nicht die genaue Verteilung, sondern Makrovariablen. Zum Beispiel Energie E und mittlere Teilchendichte n(r) (ich betrachte das Gas im Kasten).
Bei einem beobachteten Tupel (E, n(r)) gibt es eine ganze Äquivalenzklasse von Verteilungen rho, die mit den Werten verträglich sind. Die Äquivalenzklasse ist der eigentliche Makrozustand.
Kenne ich nur diese Information, ist der Repräsentant, der die von Neumann Entropie maximiert am naheliegensten. Der Beobachter wählt in diesem Moment genau diese Verteilung aus. Zu einem späteren Zeitpunkt hat man ein anderes n und damit eine andere Äquivalenzklasse bzgl der man maximiert.
Das Maximum in einer der Äquivalenzklassen würde ich als lokales Gleichgewicht interpretieren.
Die Entropie dieses Maximums ist die Entropie des Makrozustands aus dem zweiten Hauptsatz. Diese wächst dann tatsächlich.
Kann man das so sehen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21593
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| TomS Verfasst am: 28. Aug 2026 20:35 Titel: |
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Also die von-Neumann-Entropie ist die eines Mikrozustandes.
Und was wählt der Beobachter aus? Einen Repräsentanten für das Gesamtsystem, das aber in sich nicht im Gleichgewicht ist, sondern lokale Fluktuationen (Dichte, Temperatur …) aufweist? Das hieße, er wählt von vorne herein ein Mittel? Ist dann überhaupt sichergestellt, dass sich an diesem Mittel überhaupt etwas ändert?
Wenn es ein abgeschlossenes Systems ist, kann sich die von-Neumann-Entropie nicht ändern, es sei denn, es läge eine nicht-unitäre Zeitentwicklung vor.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Yoshi2000
Gast
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| Yoshi2000 Verfasst am: 29. Aug 2026 10:10 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Also die von-Neumann-Entropie ist die eines Mikrozustandes.
Und was wählt der Beobachter aus? Einen Repräsentanten für das Gesamtsystem, das aber in sich nicht im Gleichgewicht ist, sondern lokale Fluktuationen (Dichte, Temperatur …) aufweist? Das hieße, er wählt von vorne herein ein Mittel? Ist dann überhaupt sichergestellt, dass sich an diesem Mittel überhaupt etwas ändert?
Wenn es ein abgeschlossenes Systems ist, kann sich die von-Neumann-Entropie nicht ändern, es sei denn, es läge eine nicht-unitäre Zeitentwicklung vor. |
Der Beobachter kennt nur Makrovariablen, bspw die Teilchendichte n(r). Zu den gegebenen Makrovariablen gibt es eine ganze Klasse an Wahrscheinlichkeitsverteilungen rho die genau diese Werte für die Makrovariablen reproduzieren.
Der Beobachter weiß nicht welche Verteilung das System zu diesem Zeitpunkt beschreibt.
Er nimmt dabei die Verteilung mit der geringsten Informationsstruktur, was die mit der maximalen Von Neumanm Entropie ist. Ich glaub man kann das auch mit Typikalität rechtfertigen
Um die Dynamik der Entropie zu beschreiben, muss man die ursprüngliche Liouville Dynamik noch auf die Makrovariablen vergröbern.
Typischerweise nimmt man als Makrovariable f(x,v) also eine dichte die neben ort noch von der Geschwindigkeit abhängt. Die Irreversibilität der Dynamik kommt durch irgendwelche Annahmen über Stoßprozesse rein. Das führt dann zur Boltzmanngleichung.
Die so definierte Entropie auf der Äquivalenzklasse zusammen mit der Boltzmanngleichung sollte wachsen.
Man kann auch eine noch gröbere Sicht darauf haben und Dichte n(r) (ohne v) betrachten.
Als Dynamik wählt man dabei die Navier Stokes Gleichung.
Man braucht aber irgendwo einen Mechanismus, der Information über die Reversibilität bei der Vergröberung der Dynamik wegwirft. Zumindesr wenn man von einer unitären Dynamik startet.
Ist es jetzt klarer geworden worauf ich hinaus möchte? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21593
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| TomS Verfasst am: 29. Aug 2026 15:04 Titel: |
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| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Also die von-Neumann-Entropie ist die eines Mikrozustandes.
Und was wählt der Beobachter aus? Einen Repräsentanten für das Gesamtsystem, das aber in sich nicht im Gleichgewicht ist, sondern lokale Fluktuationen (Dichte, Temperatur …) aufweist? Das hieße, er wählt von vorne herein ein Mittel? Ist dann überhaupt sichergestellt, dass sich an diesem Mittel überhaupt etwas ändert?
Wenn es ein abgeschlossenes Systems ist, kann sich die von-Neumann-Entropie nicht ändern, es sei denn, es läge eine nicht-unitäre Zeitentwicklung vor. |
Der Beobachter kennt nur Makrovariablen, bspw die Teilchendichte n(r). Zu den gegebenen Makrovariablen gibt es eine ganze Klasse an Wahrscheinlichkeitsverteilungen rho die genau diese Werte für die Makrovariablen reproduzieren. |
Ja.
| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | Der Beobachter weiß nicht welche Verteilung das System zu diesem Zeitpunkt beschreibt.
Er nimmt dabei die Verteilung mit der geringsten Informationsstruktur, was die mit der maximalen Von Neumanm Entropie ist. Ich glaub man kann das auch mit Typikalität rechtfertigen
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Was weiß der Beobachter denn überhaupt? Nimmt er an, dass es Fluktuationen der Teilchendichte auf einer gewissen Skala gibt?
Und welche von-Neumann-Entropie? Die des Gesamtsystems? Oder die eines konkreten Subsystems hier "der kleine Würfel in der linken unteren vorderen Ecke"? Oder die eines gedachten Subsystems wie "ein Subsystem einer typischen Größe R mit einer typischen Teilchendichte n(r)"?
| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | Um die Dynamik der Entropie zu beschreiben, muss man die ursprüngliche Liouville Dynamik noch auf die Makrovariablen vergröbern.
Typischerweise nimmt man als Makrovariable f(x,v) also eine dichte die neben ort noch von der Geschwindigkeit abhängt. Die Irreversibilität der Dynamik kommt durch irgendwelche Annahmen über Stoßprozesse rein. Das führt dann zur Boltzmanngleichung. |
Dann bist du bei offenen Subsystemen und Coarse Graining. Das kann man schon in etw auf die QM übertragen, insbs. brauchst du dort keine Annahmen über die Stoßprozesse.
Aber du bist ebenfalls nicht mehr bei der von-Neumann-Entropie des Gesamtsystems, und damit bei dS/dt ungleich Null.
| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | Man braucht aber irgendwo einen Mechanismus, der Information über die Reversibilität bei der Vergröberung der Dynamik wegwirft. Zumindest wenn man von einer unitären Dynamik startet.
Ist es jetzt klarer geworden worauf ich hinaus möchte? |
Ja.
Insoweit ich mich auskenne, würde ich wieder auf das o.g. verweisen.
Verschränkungsentropie
Nakajima-Zwanzig-Gleichung
H-Theorem bzw. qm Spohn-Theorem
Ich muss aber auch noch etwas lesen. |
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Yoshi2000
Gast
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| Yoshi2000 Verfasst am: 29. Aug 2026 17:45 Titel: |
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Zu den von dir unten genannten Themen muss ich mich auch noch genauer einlesen.
Ich möchte aber vorerst klarer kommunizieren welche Entropie ich meine.
Den Zustandsraum der Mikrozustände bezeichne ich mit.
Der Raum aller Verteilungen auf den Zuständen des Zustandsraums bezeichne ich mit
)
Ich beziehe mich auf das Gesamtsystem. Ein Makrozustand wird beschrieben durch eine Äquivalenzklasse.
| tr(\rho 'A)= tr(\rho A) \})
Den Raum der Makrozustände bezeichne ich mit
 , was die Menge all dieser Äquivalenzklassen ist.
Die Makrovariable A steht repräsentativ für eine ganze Liste an gewählten Variablen.
Diese Klasse repräsentiert den Makrozustand mit Wert 
zur Observable A.
Diese Werte können auch Funktionen über den Raum und Impuls sein.
Die thermodynamische Entropie zu diesem Makrozustand ist jetzt definiert als
=max_{\rho' \in [\rho] }(-tr(\rho'*ln(\rho'))))
Auf dem Raum betrachtet man nicht mehr eine Liouville oder von Neumann Dynamik wie in , sondern die Boltzmann Gleichung, Navier Stokes etc.
Diese Dynamiken definieren Trajektorien in .
Ist es jetzt klar wie ich das meine? |
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