Erste Komponenten der Vierervektoren - gestaltabhängig?

MBastieK · Anmeldungsdatum: 06.10.2012 Beiträge: 1497 Wohnort: Berlin-Wedding

Titel in lang:
Sind die ersten Komponenten der Vierervektoren zueinander gestaltabhängig?

Der Minkowsi-Raum ist dadurch definiert, dass die erste Komponente des Orts-Vierervektors ct ist. (Jedenfalls ist das mein bisheriges Verständnis).
Sind die Ausgestaltungen der ersten Komponenten aller anderen Vierervektoren (wie z.B. der Vierervektor für das magnetische Vektorpotential) abhängig davon, dass die erste Komponente des Orts-Vierervektors ct ist?

Oder können diese Komponenten auch so bleiben, selbst wenn die erste Komponente des Orts-Vierervektors anders definiert oder ausgestaltet werden würde, aber mit der Dimension Länge?

Man könnte die erste Komponente des Orts-Vierervektors z.B. y·ct * definieren, was kaum bis keinen Sinn ergibt, aber als Beispiel mal herhalten muss. Hätte das Auswirkung auf die Definition bzw. Gestaltung der ersten Komponenten aller anderen Vierer-Vektoren?

Wiederholend:
Wenn man die erste Komponente des Orts-Vierervektors umdefiniert erschafft man ja quasi einen anderen Raum; müssen dann die anderen ersten Komponenten der anderen Vierervektoren definitorisch nachziehen bzw. umgestaltet werden?

P.S.:
Es geht nicht um eine Transformation hin zum korrekten Minkowski-Raum.

*Mit y als den Lorentz-Faktor.

Nette Grüsse

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21593

Grundlegend ist die Symmetrie der Minkowski-Raumzeit. Die RT ergibt nur dann Sinn, wenn alle Vierervektoren identisch transformieren.

Die Null-Komponente ist nicht ct, sie ist nur ct im Sinne der Zeitkoordinate t bzgl. der zugehörigen raumartigen Gleichzeitigsebene bzw. -hyperfläche.

Haben wir einen Beobachter mit Eigenzeit tau, so gilt für dessen zeitartige Vierergeschwindigkeit in dem mit ihm mitbewegten Koordinatensystem

Die Zeitkoordinate t ist im mitbewegten System gleich der Eigenzeit tau, und die räumlichen Komponenten x, y, z wären das, was er auf einem ebenfalls mitbewegten Meterstab abliest.

Wenn sich also etwas bzgl. dieses Meterstabs um eine Länge a in z-Richtung befindet, dann erhält dieses etwas die Koordinaten

(die Richtungen für x, y, z müssen orthogonal zur Zeitrichtung sein, und sie müssen untereinander orthogonal sein; ansonsten sind sie frei wählbar)

Bis hierher haben wir nur einen Beobachter betrachtet, und es ist sinnlos, ein gamma einzuführen.

Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit für alle Beobachter ist mathematisch äquivalent zur Forderung, dass sich Vektoren unter Wechsel des Bezugsystems unter der Lorentz-Gruppe transformieren (ich vernachlässige hier mal die Translationen).

Außerdem folgt für Energie und Impuls (und damit auch für weitere Größen wie Drehimpuls), wie sich diese transformieren müssen, im Falle des Energie-Impuls-Vierervekors ebenfalls identisch wie oben (immer unter der Lorentz-Gruppe, nur teilweise komplizierter, siehe z.B.der el.-mag. Feldstärkentensor).

Wenn man etwas anders wählt, erhält man - wenn überhaupt etwas sinnvolles -- dann nicht die RT, damit nicht den zutreffenden Rahmen für Elektromagnetismus, relativistische Quantenfeldtheorie. Insofern folgt, dass sich alle Vierervektoren identisch transformieren müssen, wenn man zu einem anderen Bezugsystem übergeht.

(man kann auch andere Transformationen vier Dimensionen finden, aber dann beschreibt das Gebilde nicht die Realität)

Also folgt letztlich, dass die Bedeutung der Komponenten bezüglich eines bestimmten Bezugsystems festgelegt sind, und dass sich die Vektoren genau so transformieren müssen:

https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation#Mathematical_formulation

MBastieK · Anmeldungsdatum: 06.10.2012 Beiträge: 1497 Wohnort: Berlin-Wedding

Hmm.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21593