Sinus-Schwingungen mit Hilfe von komplexen Zahlen darstellen

olli89 · Anmeldungsdatum: 07.03.2007 Beiträge: 3

Hi,
ich hoffe mir kann hier jemand helfen. Ich schreibe mom meine Facharbeit und bin eig so gut wie durch..
Aber ich muss als Beispiel bringen wieso komplexe Zahlen bei Sinusschwingungen vorteilhafter sind. Kla, ist weniger Rechenaufwand..weil Winkel und Lange in einer Zahl enthalten ist, aber da ich nicht viel Ahnung von Physik habe, verstehe ich nicht, wie man die Sinus-Schwingungen mit komplexen Zahlen darstellt. Das mit der Polarform hab ich verstanden und wie man dadrauf kommt. Hoffe hier kann mir jemand helfen, vll auch über ICQ -> 282081067, würde mich sehr freuen, wenn jemand mir da weiterhelfen könnte

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Der Realteil von

ist gleich

.

Für den Sinus ist das ganze dementsprechend phasenverschoben.

olli89 · Anmeldungsdatum: 07.03.2007 Beiträge: 3

ja muss ich die Formeln einfach hinnehmen oder kann man die irgendwie herleiten?

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

welche formeln meinst du denn konkret ?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Dass die beiden Formelausdrücke, die ich dir angegeben habe, beide eine Cosinusschwingung bedeuten, siehst du wahrscheinlich am besten, wenn du dir den Sinus und den Cosinus am Einheitskreis aufmalst, und dann zum Vergleich das

in der komplexen Zahlenebene aufmalst (wie du das vielleicht schon von der zeichnerischen Darstellung der Polarform kennst).

Ich glaube, dann kannst du schnell verstehen, dass diese beiden Dinge genau dasselbe sind. smile

olli89 · Anmeldungsdatum: 07.03.2007 Beiträge: 3

Danke ! Schonma

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Die Identität

lässt sich auch sehr gut plausibel machen, indem man die Reihenentwicklungen von cos(x) und sin(x) hinschreibt ! Die Reihen lassen sich in das Komplexe fortsetzen (warum das ist leider nicht in 2 Sätzen darstellbar) und definieren dann in Summe genau die e-Funktion mit imaginärem Argument. Probiers mal aus - ist eine gute Übung.

Der ur-eigentliche Grund, warum man sich in dieser Darstellung "leichter tut", liegt darin, dass lineare Systeme (wie zB Systeme aus R, L, C) durch Differentialgleichungen im Zeitbereich beschrieben werden, und durch den Übergang in den Frequenzbereich

aus diesen Differentialgleichungen algebraische Gleichungen werden:

Differenzieren:

Integrieren:

Dadurch wird aus der bekannten DG eines Serienschwingkreises

die viel einfachere Gleichung in den komplexen Variablen I und U:

Das ist nun einfach

woraus unmittelbar Betrag und Phase abgelesen werden kann, ohne irgendeine Differentialgleichung zu lösen.

Auf diese Weise ist es möglich, den Frequenzgang (d.h. die eingeschwungene Antwort auf eine sinusförmige Erregung) für jedes lineare System mit konstanten Koeffizienten als rationale Funktion anzugeben. Stichwort: Übertragungsfunktion

Jedoch vorsicht, nicht jedes System hat überhaupt einen eingeschwungenen Zustand, wie man sich anhand eines Integrators

überzeugt.

Die Weiterführung dieser Vorgangsweise ist die Laplacetransformation, die die Betrachtung auf Systeme mit allgemeiner komplexer Frequenz (incl. Dämpung) erweitert und ein sehr mächtiges Hilfsmittel für die Lösung von Anfangswertproblemen darstellt.