Potentialtopf und Operatoren

Student05 · Anmeldungsdatum: 31.05.2007 Beiträge: 10

Hi, kann mir mal jemand erklären wie man zeigt/begründet, dass folgende Operatoren hermitesch bzw. linear sind?

1.) A = ih(d/dx)
2.) B = (1/x)*Y(x) + (d/dx)*Y(x)

wobei Y(x) die Wellenfunktion sein soll.

Und noch eine Frage zum Potentialtopf.
Das Potential U ist folgendermaßen definiert:
Bereich 1: (x<0) U(x)=0
Bereich 2: (x>0) U(x)=U

Kann ich dann folgende Wellenfunktionen anstzen?
Bereich 1:
Y(x) = Be^(-kx)

Bereich 2:
Y(x) = Ce^(ikx) + De^(-ikx)

Mfg

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5797 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ein Operator ist hermitesch, wenn diese Gleichung erfüllt ist:

Der erste Operator ist dabei eine ziemliche Standardaufgabe. Das kannst Du raus bekommen, indem Du Produktintegration benutzt und dann noch weißt, dass normierbare Funktionen, wie es

und

ja sein müssen, im Unendlichen schnell genug abfallen müssen. Probier das mal aus!

Zu Deiner zweiten: Das ist kein Potentialtopf, sondern eine Potentialstufe. Du musst im linken Bereich eine rechts und eine linkslaufende Welle ansetzen, weil an der Stufe ein teil reflektiert wird und da die Energie des Systems >0 sein muss, das Potential im Bereich 1 aber 0 ist, kommt dort eine schwingende Lösung raus und im Bereich 2 eine exponentiell abfallende, wenn die Energie E<U ist, sonst auch hier eine schwingende. Außerdem sind die k nicht gleich, weil sie von der Differenz aus E und U abhängen.

Gruß
Marco

Student05 · Anmeldungsdatum: 31.05.2007 Beiträge: 10

Schonmal danke für deine Hilfe, mir ist aber immer noch nicht ganz klar wie man zeigt, dass ein Operator hermitesch ist. Aber schonmal gut zu wissen, dass man partiell Integrieren muss, das wusste ich noch nicht. Vielleicht kannst du mir das nochmal Schritt für Schritt zeigen.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5797 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Setze doch einfach mal den Operator A in das linke Integral ein:

Die eckige Klammer wird 0, weil die Funktionen beide bei ±oo schnell genug abfallen müssen, um überhaupt normierbar zu sein.

Jetzt versuche das mal mit dem anderen Operator. Ich hab's noch nicht ausprobiert...

Was ist mit der Linearität? Die sollte eigentlich leichter zu zeigen sein, denke ich. Oder?

Gruß
Marco

Student05 · Anmeldungsdatum: 31.05.2007 Beiträge: 10

Danke, ich glaube ich habe es jetzt verstanden. Allerdings habe ich noch eine Frage. Kann es sein, dass du bei dem Term in eckigen Klammern das "ih" vergessen hast? Oder habe ich einen Denkfehler gemacht?

Die partielle Integration ist ja folgenderweise definiert:
Integral(u * v')dx = [u * v] - Integral(u' * v)dx

Ich habe dann
u=phi(stern) * ih
v'=(d/dx) psi
gesetzt womit
v=psi
und
u'=ih (d/dx) psi(stern)
ist. (Sorry kann kein latex)

Wäre letztendlich aber auch egal, weil der Term in eckigen Klammern eh null wird.

Mfg

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5797 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ja, den Vorfaktor habe ich dort vergessen. Ich hatte da nicht so drauf geachtet, weil es ja 0 wird und dann der Vorfaktor auch egal ist, aber trotzdem: gut aufgepasst! Thumbs up!

Gruß
Marco

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien