Normierung der Schrödingergleichung des HO

Romeo · Anmeldungsdatum: 27.02.2008 Beiträge: 148

Hi,

sitz jetzt schon echt lange an der Aufgabe, hab schon langsam einen Ansatz oder mehr Ideen, aber ich komm damit einfach nicht zurecht. Es geht um die Schrödingergleichung. Ich würde diese gerne normieren, weiß aber nicht genau wie ich es am geschicktestens machen soll.

Erstmal die Aufgabenstellung:

http://img504.imageshack.us/img504/1277/phetnr4gesamtjf5.jpg

Mein Ansatz war es, die erste Funktion über die Dirac-Distribution zu normieren, indem ich zu erst ausdrücke, dass...

und das Ergebnis wollte ich durch das Betagsquadrat der Ausgangsfunktion teilen, nur bekomm ich jetzt Schwierigkeiten, das Integral dieser Funktion zu lösen, hab da mal im Internet ein bisschen rumgeschaut und festgestellt, dass es sich um eine sogenannte Glockenkurve handelt.

Irgendwie lässt sich das Integral nicht lösen, hab es auch schon mit Derive versucht, liefert aber auch nur irgendwas komisches, im Internet bin ich dann auf folgendes gestoßen:

Normalverteilung
Fehlerintegral

Was mir aber nicht wirklich weiterhilft, gibt es da vielleicht einen einfacherern Weg oder einen Trick? Mich interessiert aber auch wohl die Lösung des Integrales!
Ich würde mich wirklich sehr über Hilfe freuen!

Passepartout · Anmeldungsdatum: 02.06.2005 Beiträge: 172 Wohnort: Lausanne

Hi,

das ist ein Standardintegral, mach mal ne Substitution

und schaue ob Du das Integral

in der Formelsammlung findest.

Liebe Grüße,
Passepartout

Romeo · Anmeldungsdatum: 27.02.2008 Beiträge: 148

Leider nein, das ist eben mein Problem...
Hab es natürlich schon im Internet oder in meinem Papula nachgeschlagen. Im Papula ist es nicht drin und im Internet heißt es Fehlerintegral.

Klar hab ich es auch schon über Substitution versucht, der Harken ist halt:

Einsetzen:

Ganz allgemein, aber es zeigt, dass ein x nach der Substitution erhalten bleibt!

Passepartout · Anmeldungsdatum: 02.06.2005 Beiträge: 172 Wohnort: Lausanne

Hallo,

ist ja schwach, dass Derive kein

berechnen kann.
Nun denn...

sax · Anmeldungsdatum: 10.05.2005 Beiträge: 377 Wohnort: Magdeburg

Hier mal eine Herleitung des Integrals, vieleicht hilft das beim Verständnis.

Erstmal bezeichne ich mit W den gesuchten Wert aber noch unbekannten Wert:

Es gilt auch

da der Name der Integrationvariablen egal ist.
Multipliziert man die Integrale erhaelt man

Das ist nun aber ein zweidimensionales Integral ueber die Gesamte x-y Ebene. Versuchen wir das in Polarkoordinaten aufzuschreiben:

also

mit der Subtitution

Also ist

(Die negative Wurzel kann als Loesung des Urspruenglichen integrals ausgeschlossen werden, da der Integrand immer >0 ist)

edit: Wenn man dieses Integral in einem mathematischen Nachschlagewerk nicht findet, wurde ich das entsprechende Buch wegwerfen.

sax · Anmeldungsdatum: 10.05.2005 Beiträge: 377 Wohnort: Magdeburg

Ich habe mir gerade deinen ersten Post nochmal durchgelesen. Was hantierst du da eigentlich mit der Delta Distribution rum ? Im ersten Teil soll doch nur gezeigt werden dass

gilt.
Das Integral ueber das Betragsquadrat der Wellenfunktion also eins ist und damit
die Wahrscheinlichkeit das Objekt, welches durch die WF beschrieben wird, irgendwo zu messen auch eins ist.
Auch muss nicht die Schroedingergleichung normiert werden, sondern deren Loesungen.