Eigenwerte und Eigenvektoren

golbi · Anmeldungsdatum: 03.11.2007 Beiträge: 77

hi,

ich hab hier ne Aufgabe bei der ich nicht weiterkomm:

Die Zustände |P1>, |P2> seien eine orthonormale Basis eines 2-dimensionalen Hilbertraumes. Für den Operator A gelte:

A|P1>=-|P2> und A|P2>=-|P1>

Zuerst sollten wir A bestimmen. Das hab ich auch gemacht:

A=-|P2><P1|-|P1><P2|

Nun soll ich die Eigenwerte und Eigenzustände bestimmen. Allgemein gilt ja:

Kann ich hier das x einfach als Linearkombination der beiden Zustände |P1> und |P2> darstellen?

also x = a|P1>+b|P2> ?

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Ja, das kannst du, da P1 und P2 ja eine Basis bilden.

golbi · Anmeldungsdatum: 03.11.2007 Beiträge: 77

ok, habs mal probiert und dann dastehen:

-a|P1>-b|P2> =

*(a|P1>+b|P2>)

Der einzigste Eigentwert wäre ja dann -1. Wie kann man jetzt die Eigenvektoren bestimmen? Oder sind alle Vektoren Eigenvektoren für den Eigenwert, weil ja alle Vektoren die Gleichung Ax=-x erfüllen?

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

golbi · Anmeldungsdatum: 03.11.2007 Beiträge: 77

siehe unten

golbi · Anmeldungsdatum: 03.11.2007 Beiträge: 77

Danke, stimmt. a und b müssen vertauscht werden. Dann bekomm ich folgende Gleichungen für den Eigenwert:

= -a/b und

= -b/a => a = +-b =>

= +- 1

und die zugehörigen Eigenvektoren sind dann:

x = a|P1> - a|P2> beziehungsweise x= a|P1> + a|P2>

passt das so schon?

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

ja, wenn du die Eigenvektoren noch normierst, dann passt es.