Eigenwerte des quantenmechanischen Harmonischen Oszillators

PhysikSpezi · Anmeldungsdatum: 10.11.2013 Beiträge: 22

Meine Frage:
Ich würde gerne die Eigenwerte des harmonischen Oszillators ohne Verwendung der Leiteroperatoren bestimmen. Bekannt ist mir die Wellenfunktion des harmonischen Oszillators:

Hn sind die Hermite-Polynome.

Meine Ideen:
Ich scheitere schon wenn ich den Eigenwert des Grundzustands

bestimmen möchte.
Hierfür wende ich den Hamiltonoperator

auf

an. Das HermitePolynom ist ja in diesem Fall =1.
Dann bekomme ich als Lösung:

Wo ist mein Fehler? Ich habe den Ortsoperator einfach so angewendet, dass ich ein x vor die Wellenfunktion multipliziert habe. Bei x^2 entsprechend ein x^2. Ist das korrekt?

PhysikSpezi · Anmeldungsdatum: 10.11.2013 Beiträge: 22

Ich habe eine kleine Korrektur zu machen, das x in der Wellen funktion sollte

lauten. Die Wellenfunktion lautet dann:

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8763

Ich weiss nicht ob es ein Tippfehler hier ist, oder ob Dein Fehler daran liegt. Der kinetische Term enthält die zweite Ableitung nicht die erste.

Hier hatten wir eine ähnliche Frage schonmal und haben das mehr oder weniger ausführlich durchgekaut:
http://www.physikerboard.de/topic,34245,0,-eigenfunktion-harmonischer-oszillator.html

PhysikSpezi · Anmeldungsdatum: 10.11.2013 Beiträge: 22

Das war leider nur ein Tippfehler. Ich hatte eigentlich schon die zweite Ableitung benutzt.... stimmt, dass der Link eigentlich ein ähnliches Problem behandelt. immerhin ist mir jetzt klar, dass ich den Ortsoperator richtig angewendet habe. Trotzdem hilft mir der link nicht weiter, da ich immer noch nicht sehe, wie genau ich meinen Eigenwert, der nun von x abhängt auf den Eigenwert der Grundschwingung umformen kann, der nicht mehr von x abhängt. Ich wäre wirklich froh, wenn mir jemand erklären könnte wie diese Umformung geht. Ich selbst sehe keinen Weg, obwohl es einen geben muss.

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Du hast beim Ableiten einen Fehler gemacht, dein Ausdruck kann schon dimensionsmäßig nicht stimmen.

Entweder du berechnest nochmal die Ableitung konzentriert selber, oder du präsentierst deinen Rechenweg, damit wir deinen Fehler aufzeigen können.

PhysikSpezi · Anmeldungsdatum: 10.11.2013 Beiträge: 22

Meine Rechnung war folgende:

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8763

Die ersten drei Zeilen enthalten schon drei Fehler:
Es fehlt ein Faktor 1/2 und die zweite Ableitung ist falsch, da entsteht ein x^2 (und da hast Du noch nen zweiten Faktor 2 falsch, der den ersten z.T. ausgleicht).

Setz Dich in Ruhe hin und rechne es nochmal nach.

PhysikSpezi · Anmeldungsdatum: 10.11.2013 Beiträge: 22

Danke! Es klappt jetzt Big Laugh

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jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8763