Trägheitsmoment einer dünnen Hohlkugel

bReet · Anmeldungsdatum: 10.02.2005 Beiträge: 7 Wohnort: ddorf

Was muss ich als dm nehmen, um das Trägheistmoment von einer hohlen Kugel mit sehr dünner Oberfläche zu berechnen? Ich weiss das das Ergebnis 2/3 mr² ist...aber wie komm ich den da dran?

navajo · Moderator Anmeldungsdatum: 12.03.2004 Beiträge: 618 Wohnort: Bielefeld

Ich würd für

einfach

nehmen. ;P

Ehm naja, aber mal ernst. Weil ne Kugel so schön Kugelsymmetrisch ist geht man erstmal zu Kugelkoordinaten über:
In Kugelkoordinaten ist das Volumenelement

.
Und das r in

ist der Abstand zur Drehachse. Der ist gegeben durch

. (Dazu müsste man sich eigentlich am besten mal ein Bildchen malen Augenzwinkern

)

Das setzt man also ein und fängt an fleißig zu Integrieren. Augenzwinkern

Ich hoffe das das alles so stimmt, musste mir grad erstmal selbst angucken wie das noch gleich ging. Hammer

etzwane · Anmeldungsdatum: 23.12.2004 Beiträge: 90 Wohnort: Hude

Mit R = Außendurchmesser, r = Innendurchmesser, s = Wandstärke = R - r und m = Masse erhält man für das Trägheitsmoment

und mit r = R - s:

bei Vernachlässigung von Gliedern höherer Ordnung,
also wenn s gegen Null geht, folgt

navajo · Moderator Anmeldungsdatum: 12.03.2004 Beiträge: 618 Wohnort: Bielefeld

etzwane · Anmeldungsdatum: 23.12.2004 Beiträge: 90 Wohnort: Hude

Diese Formel steht so in meiner Formelsammlung, ich versuche mal, sie nachzuvollziehen:
das Volumen einer Kugel ist

deren Trägheitsmoment ist

Für Hohlkugeln noch Volumen und Trägheitsmoment der inneren Kugel abziehen, den Ausdruck für die Masse nochmals einsetzen, ergibt die Ausgangsgleichung:

Eigentlich müsste man jetzt noch die Formeln für Volumen und Trägheitsmoment der Kugel nachweisen, das soll tun, wer Zeit und Lust dazu hat.