Lagrange-Fkt: Transformation finden die L invariant lässt

physiker08 · Anmeldungsdatum: 08.06.2008 Beiträge: 83

Hi,

Ich betrachte ein sich in einer Dimension bewegendes Teilchen was sich unter Einfluss des Potentials

bewegt.

Die Lagrangefunktion für dieses Teilchen ist nun:

Ich soll nun eine Transformation finden, die diese Lagrange-Fkt. invariant lässt und anschließend mithilfe des Noether-Theorems eine Erhaltungsgröße finden. Jede Trafo die L invariant lässt, führt ja zu einer Erhaltungsgröße.

Hmm mein Problem ist nur, wie ich nun solch eine Trafo finde?

Gibt es da ein Rezept?

Danke schonmal,

VG

Matze

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Nein, es gibt kein allgemeingültiges Rezept, d.h.es kann immer vorkommen, dass es quasi "versteckte" oder "ungewöhnliche" Symmetrien gibt, die man nicht so schnell findet (Bsp.: 1/r und r² Potentiale).

Aber es gibt natürlich Symmetrien, die man grundsätzlich immer überprüfen kann, z.B.:
- Zeittranslation t' = t + dt
- räumliche Translation r' = r + dr
- Rotation (trifft in deinem Fall nicht zu, da eindimensional)

physiker08 · Anmeldungsdatum: 08.06.2008 Beiträge: 83

hi, danke für die Antwort.

Hmm, wenn ich mir die Lagrange-Fkt. angucke ist sie ja explizit von x und t abhängig, d.h. sie ist ja nicht invariant gegenüber Zeit- und Orttranslation.

Also scheint die Lagrangefkt. noch andere Symmetrien zu haben? Hast du vielleicht einen Tipp für mich, wie man nun vorgeht. bzw. wie man nun eine Koordinaten-Transformation findet, die bewirkt, dass eine oder beide dieser transformierten Koordinaten nicht in L enthalten ist, sodass ich ne Invarianz bezgl. dieser Koordinate habe?

Danke schonmal

VG

Matze

Hagbard · Anmeldungsdatum: 07.02.2006 Beiträge: 320 Wohnort: Augsburg

Ich denke dies wird dir etwas weiterhelfen. Insbesondere Punkt 2.3.

physiker08 · Anmeldungsdatum: 08.06.2008 Beiträge: 83

Hi, danke!

Ich habe mir das Script mal angeguckt, aber ich stecke trotzdem noch fest.

Mir ist zwar klar, dass eine Symmetrie (Transform. die L unverändert lässt) der Lagrangefkt. auf eine Erhaltungsgröße führt. Aber wie komme ich auf solch eine Symmetrie? Also die Galilei-Trafos (Zeittranslation, Ortstranslation) bewirken ja keine Invarianz von L. Wenn ich den Ort zu x --> x+a oder die Zeit zu t --> t+e transformiere, verändert sich ja auch die Lagrangefunktion grübelnd

Ich könnte mir vorstellen das man die Lagrange-Fkt. mit der dazugehörigen Hamiltonfunktion geeignet mit neuen Koordinaten ausstattet, oder transformiert, über diesen Zusammenhang:

Wenn diese Koordinatentrafo gut gewählt ist, sieht man auf einmal leicht die entsprechende Symmetrie, insofern, dass H von Q oder P nicht mehr explizit abhängt.

Nur wie findet man solche eine erzeugende Funktion F die geeignet ist?? grübelnd

Geht das überhaupt, dass man durch Koordinatentrafo die explizite Koordinatenabhängigkeit zum Verschwinden bringen kann??

Ich bin etwas verwirrt Hammer

Vielen Dank schonmal!

VG

Matze