Herleitung Trägheitsmoment einer homogenen Kugel

Maria18 · Gast

Hallo,
ich wollte mal das Trägheitsmoment einer Kugel herleiten. Wenn ich das nach dem Schema mache, wie ich das auch bei einem Zylinder benutzt habe mache komme ich allerdings auf etwas falsches.

ich denke hier liegt schon der Fehler. Denn dieses Volumenelement gibt bei Integration nach dr ja nicht die Kugel. Aber wie geht man da in so einem Fall vor?

Viele Grüße

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3323

Wenn man eine Funktion hat f V(r) dann ist dV nach dr immer die Volumssteigung also die Zunahme des Volumens per dr.

Wenn du dV betrachtest das sich über der dr erstreckt, dann ist dies bei einem Zylinder immer ein Zylindermantel.
Also ein Kreisring mit Dicke dr und einer konstanten Länge.

Bei der Kugel ist aber dV über dr eine Kugelschale mit der Dicke dr.

Beim Zylinder kann dV mit r² multipliziert werden weil alle sich in dV befindlichen Massepunkte den selben Radius zur Drechachse haben

Bei der Kugelschale geht das nicht weil hier alle Massepunkte unterschiedliche Radien zur Drehachse haben.

Du kannsd die Kugel aber ebenfalls in lauter kleine Zylindermantel teilen wie beim Zylinder, mußt aber berücksichtigen das die Länge dieser Zylindermantel nicht konstant ist wie bei einem Zylinder sondern bei der Kugel vom Radius abhängt.
(l/2) ²=R²-r²

R...Radius der Kugel. muß als konstante behandelt werden.

für einen Zylindermantel in der Kugel parallel zur Drechachse gilt:
dV/dr = dA/dr * l(r)

A=r² * pi

Diese Volumssteigung gibt nun an wie sich das Volumen vergrößert wenn man in die Kugel lauter kleine Zylindermantel einschreibt die parallel zur Drehachse liegen. dies darfsd du nun mit r² und rho aus multiplizieren um das Trägheitsmoment zu erhalten.

Deine Volumsteigung zur Errinnerung gab an wie die Volumssteigung ausschaut wenn man lauter Kugelschalen einschreibt.