Trägheitsmoment Würfel

Compater · Anmeldungsdatum: 01.01.2011 Beiträge: 5 Wohnort: Marl

Hallo zusammen,
ich soll das Trägheitsmoment eines Würfels bestimmen mit homogener Massenverteilung bezüglich einer Achse, die zwei gegenüberliegende Seitenmitten miteinander verbindet. Mit der Seitenlänge a und Masse M.

Mein Problem ist, das ich nicht weiß wie ich darauf komme, wie ich den Abstand von der Drehachse als Funktion darstellen soll, sodass man das Integral vernünftig ausrechnen kann.

mfg Compater

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Magst du mal eine Skizze machen, die zeigt, wo die Drehachse durchlaufen soll?

Kannst du dieser Skizze per Pythagoras entnehmen, wie groß der Abstand r ist, wenn man ihn in den kartesischen Koordinaten ausdrückt, die du verwendest?

Schreib an die Integrale in deinem Mehrfachintegral gerne auch mit dran, welches die jeweilige Laufvariable in dem jeweiligen Integral ist.

Kommst du damit schon etwas weiter beim Hinschreiben und Aufstellen deines Mehrfachintegrals? Wie konkret wird es mit diesen Tipps, und wie weit kannst du eventuell damit sogar schon anfangen, das Mehrfach-Integral auszuwerten?

Compater · Anmeldungsdatum: 01.01.2011 Beiträge: 5 Wohnort: Marl

Ich habs jetzt so gemacht, dass ich zuerst das Trägheitsmoment durch den Schwerpunkt bestimmt hab - das geht mit pythagoras - und dann den Steinerschen Satz drauf angewandt habe. Und habe von -a/2 bis a/2 jeweils integriert.
Ich komme damit auf das Ergebnis

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Da habe ich noch nicht so ganz verstanden, warum du da den Steinerschen Satz anwendest.

Ist die Achse, die zwei gegenüberliegende Seitenmitten miteinander verbindet, nicht gerade eine Achse durch den Schwerpunkt? So dass "das Trägheitsmoment durch den Schwerpunkt" schon direkt die gesuchte Lösung wäre?

Kannst du vielleicht mal in einer Skizze zeigen, wie du die Lage der Drehachse verstanden und interpretiert hast?

Compater · Anmeldungsdatum: 01.01.2011 Beiträge: 5 Wohnort: Marl

Hier ich hoffe man verstehts

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Wäre das links nicht eine Achse, die zwei Kantenmitten miteinander verbindet (und nicht zwei Seitenmitten), und das für zwei Kanten, die sich gegenseitig benachbart sind (und nicht etwa komplett gegenüber auf der jeweils anderen Seite des Würfels liegen).

Stammt die Formulierung mit den beiden gegenüberliegenden Seitenmitten von dir oder vom Aufgabensteller? War die Lage der Drehachse durch solche Worte oder durch eine Skizze vorgegeben?

(Für die von Dir eingezeichnete Lage der Drehachse - senkrecht durch die Mitte der linken Würfelseite - bin ich mit deinem Resultat für das Trägheitsmoment des Würfels einverstanden smile

)

Compater · Anmeldungsdatum: 01.01.2011 Beiträge: 5 Wohnort: Marl

Der genaue Wortlaut:
"Bestimmen Sie die Trägheitsmomente eines Würfels mit Kantenlänge a, Masse M mit homogener Masseverteilung bezüglich der Verbindungslinie zweier gegenüberliegender Seitenmitten."
war keine skizze dabei.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Dann verstehe ich die Aufgabenstellung eindeutig so, dass als Drehachse deine rechte rote Linie gemeint ist, nicht deine linke rote Linie.

Dass würde dann glaube ich bedeuten, dass du von deiner Rechnung nur die Hälfte brauchst, stimmts?

Compater · Anmeldungsdatum: 01.01.2011 Beiträge: 5 Wohnort: Marl

Jo du hast recht ich brauch also nur das Trägheitsmoment für die achse durch den Schwerpunkt und brauch gar keinen steinerschen satz mehr Augenzwinkern

Packo · Gast

Also ich kann aus der Skizze nicht erkennen, dass eine der beiden roten Linien die geforderte Bezugsachse sein soll!

Packo · Gast

Ups, da hab ich mich geirrt!

Ich habe gedacht, dass die Bezugsachse durch die Kantenmitten gehen sollte. Richtig gelesen sind aber die Seitenmitten gemeint. Die Aufgabe ist somit ziemlich einfach.