Trägheitstensor für ein Quadrat

El Rey · Anmeldungsdatum: 17.10.2010 Beiträge: 59

Meine Frage:
hallo liebes forum

ich sitze hier grad an folgender aufgabe und weis nich weiter

ich habe grad folgenden Trägheitstensor I für ein Quadrst mit der kantenlänge a bestimmt

man sollte von C = Ma²/12 ausgehen
das habe ich nach M umgeformt und in die matrix ein gesetzt

nun soll ich die eigenwerte der hauptachsen bestimmen und zeigen das die hauptachsen orthoganal zueinander liegen.

Meine Ideen:
ich weis das man das i-wie mit einer symmetrischen matrix machen wo alles außer der hauptdiagonale = 0 is aber ich weis nich wie man das macht, symmetrisch is die matrix ja immerhin Big Laugh

bitte schnelle hilfe Augenzwinkern

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Für eine symmetrische Matrix A kann mann immer eine (unitäre) Matrix U finden, sodass

wobei D eine Diagonalmatrix ist, die aus den Eigenwerten

von A besteht.

Die Spalten von U sind die entsprechenden Eigenvektoren.

El Rey · Anmeldungsdatum: 17.10.2010 Beiträge: 59

oki sieht plausibel aus aber wie mach ich jez weiter ??
wie komme ich denn auf U ??

Packo · Gast

El Rey,
du musst als zunächst die Eigenwerte und dann die dazugehörigen Eigenvektoren deiner Matrix bestimmen. Kannst du das?

El Rey · Anmeldungsdatum: 17.10.2010 Beiträge: 59

ich weis i-wie nich was mit eigenwerte und eigenvektoren gemeint is
wenn ich das wüsste dann würd ich wahrscheinlich können Big Laugh

Packo · Gast

Das macht mich jetzt stutzig.
El Rey, bist du sicher, dass dein Trägheitstensor richtig ist?
Die Überschrift lautet doch ... Quadrat.
Ein Quadrat ist doch eine ebene Figur. Wie kommst du da auf eine 3x3-Matrix?

El Rey · Anmeldungsdatum: 17.10.2010 Beiträge: 59

ich hab die formel genommen die in wikipedia steht mit m*soner matrix und da habe ich alle z einträge = 0 gesetzt ich weis auch nich wieso da 3x3 das ergebnis is

was würdest du denn vorschlagen ??

El Rey · Anmeldungsdatum: 17.10.2010 Beiträge: 59

hier is der link dazu http://de.wikipedia.org/wiki/Trägheitstensor

Packo · Gast

Tut mir leid - ich glaube, jetzt habe ich dich verwirrt.
Falls es sich bei dem Quadrat um eine quadratische Platte handelt, sich sich im Raum bewegen kann, dann stimmt dein Tensor!

Fall du mit Linearer Algebra nicht vertraut bist (= wenn du die Gleichungen vom schnudl nicht verstehst), so kann ich morgen versuchen, dir die Ermittlung von Eigenwerten und Eigenvektoren zu zeigen.

El Rey · Anmeldungsdatum: 17.10.2010 Beiträge: 59

einverstanden Augenzwinkern

ja ich hätte vllt die rotationsachse erwähnen sollen Big Laugh

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

nicht erforderlich

Packo · Gast

Um die Formel von schnudl anzuwenden, musst du die gesuchten Eigenwerte lamda1, lambda2, lambda3 jeweils von den Elementen der Matrix I, die in der Hauptdiagonale stehen, abziehen.
Von dieser Matrix bildest du dann die Determinante und setzt diese gleich 0.
Du erhälst damit eine Gleichung dritten Grades in lambda.
Die drei Lösungen dieser Gleichung sind die gesuchten Eigenwerte.

Ich erhalte
lambda1 = 0
lambda2 = lambda3 = 24C