Trägheitstensor Dreieck

rakete007 · Anmeldungsdatum: 01.12.2023 Beiträge: 40

Hallo zusammen,
ich habe Verständnisprobleme mit der Formel in dieser Aufgabe:

Betrachten Sie einen flachen Festkörper in Dreiecksform mit gleichmäßiger Dichte ρ = M/S, wobei M die Masse und S = a^2/2 die Fläche des Körpers sind.
Das Dreieck ist gleichschenklig und rechtwinklig, und a ist die Länge einer der Seiten mit gleicher Länge.
Wir wählen die Ecke des rechten Winkels als Ursprung des Koordinatensystems. Die x- und y-Achse sind entlang der gleichen Seiten des Dreiecks und die z-Achse senkrecht zu der Dreiecksfläche.
Der Trägheitstensor ist eine reelle symmetrische 3×3 Matrix deren Komponenten durch:

(siehe Attachment)

gegeben sind. Dabei bezeichnet der Vektor r = (x, y, z) den
Ortsvektor bzgl der Standardbasis und rl dessen lte Komponente, sowie δlm das Kronecker-Delta. (Offenbar ist J eine symmetrische Matrix, also Ilm = Iml).

Ich verstehe die Formel nicht so ganz. Was ist mit dem Vektor r gemeint? Setze ich da immer (x, y, z) ein oder muss ich das irgendwie für jede Komponente anpassen?
Außerdem: wie wähle ich die Grenzen? Ich habe eben versucht, die erste Komponente zu berechnen, und habe dafür
0 <= x <= a
0<= y <= a
und 0 <= z <= 0 verwendet - bei z bin ich mir unsicher. Ich habe auf jeden Fall etwas falsches herausbekommen.

Kann mir jemand vielleicht die Rechnung für die erste Komponente zeigen? Ich denke, dass mir dann klar wäre, was zu tun ist.
Zur Kontrolle: Die erste Komponente ist Ma^2/6.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202