Trägheitstensor Körper im mitrotierenden System

timslo · Anmeldungsdatum: 16.01.2022 Beiträge: 3

Meine Frage:
Vier gleich schwere Massen m (Stäbe mit Kugeln an den Enden) sind über ein starres Kreuz miteinander verbunden. Die Masse der Verbindungsstangen sei vernachlässigbar. Das Kreuz drehe sich mit der konstanten Winkelge- schwindigkeit

um eine Drehachse, die in seiner Ebene liegt, durch seinen Schwerpunkt geht und einen Winkel

mit seiner langen Achse hat.

Meine Ideen:
Ich habe leider keine Idee dafür, bin über jeden Ansatz/Hilfe sehr dankbar!

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Ich nehme an, es gehe darum, das Trägheitsmoment bezüglich der erwähnten Drehachse zu bestimmen. Falls die Verbindungsstäbe senkrecht zueinander stehen, bilden sie auch Hauptträgheitsachsen des Körpers. Bezüglich dieser Achsen ist der Trägheitstensor

diagonal, und die Diagonalelemente sind einfach die Trägheitsmomente bezüglich der drei Hauptachsen. Nun die Drehachse durch einen Einheitsvektor

bezüglich der Hauptachsen ausdrücken. Das Trägheitsmoment bezüglich der Drehachse ist dann

timslo · Anmeldungsdatum: 16.01.2022 Beiträge: 3

Vielleicht ganz banale Frage, aber wie berechnet man den Vektor n und wie berechne ich das theta?

ich habe noch die Skizze zu dieser Aufgabe hinzugefügt

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Als Erstes legst Du ein mitrotierendes Bezugssystem so in den Körper, dass die Koordinatenachsen in den Hauptachsen liegen. In diesem System hat der Trägheitstensor nur Diagonalelemente, und diese sind gleich den Trägheitsmomenten bezüglich der jeweiligen Achsen.

Legen wir z.B. eine Achse 1 in die Verbindungsstäbe mit Länge b, eine Achse 2 in die Verbindungsstäbe mit Länge a und eine Achse 3 senkrecht dazu, so hat der Trägheitstensor die Elemente

. Die Richtung der Drehachse wird durch einen Einheitsvektor ausgedrückt, mit den Komponenten ebenfalls bezüglich des mitrotierenden Systems. Mit den festgelegten Achsen wäre das also

wobei das Minuszeichen hier eigentlich keine Rolle spielt und sich weghebt bei Berechnung des Trägheitsmoments bezüglich der angegebenen Drehachse.

Wenn nur dieses Trägheitsmoments berechnet werden soll, dann geht das in diesem Fall natürlich einfacher, denn man kann die Abstände der vier (annahmegemäss punktförmigen) Massen von der Drehachse praktisch direkt aus der Skizze ablesen.