Zeitentwicklung

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

Folgende Frage:
Der Hamiltonion ist bekannt:

. Die Zustände

bilden eine vollständige Orthonormalbasis.
Nun soll die Zeitentwicklung

in Termen der beiden Basiszustände angegeben werden. Dabei ist

.
Normalerweise würde ich den Zeitentwicklungsoperator auf meine Darstellung der Wellenfunktion wirken lassen. Hier ist jedoch das Problem, dass in diesem Fall das System dann doch immer im Zustand 1 verbleiben würde.
Als Hinweis ist noch gegeben, dass eine Reihenentwicklung eventuell nützlich sein könnte.
Kann mir jemand weiterhelfen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21655

M.E. solltest du den Zeitentwicklungsoperator exp(-iHt) mittels Taylorentwicklung berechnen. Die geraden Potenzen von (-iHt) sind dabei proportional zur Einheitsmatrix, die ungeraden wiederum proportional zu H. Diese Potenzen kannst du nun so sortieren, so dass du Sinus und Cosinus-Reihe erhältst, einmal mit einem Vorfaktor gleich Eins, einmal mit H. Damit ist der Zeitenwicklungsoperator exp(-iHt) im wesentlichen eine SU(2) Drehung deiner Basisvektoren |1> und |2>, die Zeit t geht dabei in den Drehwinkel ein.

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

In wie weit sind denn die beiden Zustände auch Eigenvektoren(/Zustände) zum Hamiltonoperator ?

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Also:

Dann kannst du alternativ zu der Methode von TomS, die recht lehrreich ist, auch die Eigenzustände von H bestimmen und dann die beiden Zustände als Linearkombination der Eigenzustände schreiben. Beim Anwenden des Zeitpropagator darfst du dann jeweils H durch den entsprechenden Eigenwert ersetzen.

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21655

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21655

Ach so, das h soll tatsächlich die Plancksche Konstante sein.

Ich war etwas verwirrt, weil ich dachte, dass explizit ein Parameter der Dimension 'Energie' vorkommen müsste und hatte das mit h identifiziert.