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Quant
Anmeldungsdatum: 18.05.2011
Beiträge: 92
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 Quant Verfasst am: 20. Jun 2011 16:30 Titel: Lösung Differentialgleichung |
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Brauchen Hilfe bei folgender DGL:
-\frac{g}{l} \right)\vartheta
<br />
)
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 20. Jun 2011 16:35 Titel: |
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Bist du dir sicher, dass die Klammern und die Vorzeichen richtig gesetzt sind ?
Ansonsten: Versuch dich zunächst mal an der homogenen Lösung.
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Quant
Anmeldungsdatum: 18.05.2011
Beiträge: 92
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| Quant Verfasst am: 20. Jun 2011 16:37 Titel: |
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Ja, die Klammern stimmen und deswegen stellen wir sie ins Forum.
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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Quant
Anmeldungsdatum: 18.05.2011
Beiträge: 92
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| Quant Verfasst am: 20. Jun 2011 17:36 Titel: |
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Die DGL kommt von folgender Aufgabe:
Man betrachte ein Pendel auf dem Kopf, das aus einer Masse m am oberen Ende eines masselosen Stabes der Länge l besteht. Das untere Ende des Stabes möge vertikal pszillieren, wobei seine Position gegeben sei durch y(t)= A cos(w t) ( A<< l ).
Wenn w groß ist und das Pendel zu Beginn nahezu senktecht kopfüber steht, dann fällt es überraschenderweise nicht um. Stattdessen wird es um die Ausgangsposition "schwingen".
Man bestimmt die Bewegungsgleichung für Teta ( das ist unsere Pendels). Außer dem bestimmt man die Frequenz der Vor- und Zurückbewegung des Pedels.
Grüße
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 20. Jun 2011 18:01 Titel: |
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Dann hast du einen Fehler bei der Herleitung der Bewegungsgleichung gemacht ! Der Term mit dem Kosinus sollte für kleine Winkel nicht mehr von  abhängig sein. Hast du die Bewegungsgleichung aus der Lagrange-Funktion oder manuell hergeleitet ?
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Quant
Anmeldungsdatum: 18.05.2011
Beiträge: 92
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 20. Jun 2011 22:09 Titel: Re: Lösung Differentialgleichung |
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| Quant hat Folgendes geschrieben: | -\frac{g}{l} \right)\vartheta) |
Diese Gleichung erfüllt nicht den Grenzfall fehlender Oszillation des Aufhängepunktes ( = normales Pendel)
 , sondern setzt kleine Schwingungen schon voraus. Nach meiner Rechnung
sin \vartheta)
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Quant
Anmeldungsdatum: 18.05.2011
Beiträge: 92
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| Quant Verfasst am: 21. Jun 2011 07:44 Titel: |
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Hallo Franz!
Das verstehe ich nicht...Das ist doch mein Ergebnis nur, dass bei dir das Minus in die Klammer reinmultipliziert ist.
Bzw. selbst wenn ich das Minus in meine Gleichung wieder reinmultipliziere stellt das für mich keine wesentliche Vereinfachung dar...Leider
Für alternative Lösungsvorschläge bin ich natürlich offen 
Gruß
//edit Achja!
Da die Auslenkung des Massepunktes am Anfang nur sehr klein sein soll habe ich \approx \vartheta ) bereits genähert in meiner Gleichung!
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 21. Jun 2011 19:26 Titel: |
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Ich kenne eigentlich nur, dass man das Pendel durch eine horizontale periodische Bewegung stabilisiert - Daher auch meine Verwirrung. Dann hättest du bei dem Term, welcher den Antrieb beschreibt, nämlich einen  \approx 1) und damit ist die Lösung der DGL auch analytisch machbar.
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Quant
Anmeldungsdatum: 18.05.2011
Beiträge: 92
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| Quant Verfasst am: 21. Jun 2011 19:36 Titel: |
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Hmm Naja ich habe vorhin nochmal meinen Tutor/Aufgabensteller gefragt und er meinte das die Aufgabe aufjeden Fall analytisch lösbar sei.
Werde morgen mal bei ihm vorbei schaun und mir ein paar Tipps abholen.
Sollte ich zu einem Ergebnis kommen lasse ich euch das aufjeden wissen ^^
Gruß
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 22. Jun 2011 00:03 Titel: |
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Die Idee mit dem kleinen Auslenkungswinkel stammt vermutlich vom mathematischen Pendel. Sie ist dort durch den Energiesatz legitimiert. Im Unterschied dazu gibt es hier jedoch einen zusätzlichen äußeren Einfluß und ich sehe an dieser Stelle noch keine Begründung dafür, daß eine einmal kleine Schwingung nicht "aus dem Ruder" laufen soll. Analog vielleicht zu der von außen angeschubsten Kindersschaukel.
Ein zweites Problem neben  ist die Angabe einer "großen" Frequenz  . Man könnte mit  zwar schreiben
^2 cos\omega t \right)sin \vartheta)
und an  denken. Aber wie weiter - im Sinne einer Näherung?
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3320
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| VeryApe Verfasst am: 23. Jun 2011 12:04 Titel: |
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ich komme nicht auf eure Formel, denn ich habe noch einen weiteren Term drinnen. allerdings verwende ich nicht Lagrange, sonder Kraftsystem nach Dalembert
Eure zwei Terme bekomme ich aufgrund tangentialer Richtung.
Ich bekomme aber noch einen Term hinein aufgrund dessen das sich m auch in Radialer Richtung bewegt , weil sie durch die auf und ab schwingende Masse in Pendelrichtung radial Richtung beschleunigt wird, wodurch durch die Winkeländerung eine zusätzliche tangential Komponente entsteht.
Ich muß mir das aber nochmal näher ansehen, war nur schnell drüber geschaut.
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3320
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| VeryApe Verfasst am: 23. Jun 2011 17:18 Titel: |
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okay differentialgleichung bekomm ich jetzt auch, habe übersehen das der Term unendlich klein zum quadrat ist.
wo liegt jetzt das Problem eine Symmetrie kann sich doch einstellen wenn m den höchsten Punkt erreicht genau zu der Zeit an dem die Schwingung das Auhfängepunktes den nulldurchgang hat.
Soweit ich weißt, verwendet man die Kleinwinkelnäherung Beim Pendel aufgrund der Taylor-Entwicklung für den sinus, mit der sich zeigt das der Fehler bei kleinen winkeln minimal ist.
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Quant
Anmeldungsdatum: 18.05.2011
Beiträge: 92
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| Quant Verfasst am: 24. Jun 2011 16:08 Titel: |
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Also den Winkel habe ich genähert weil in der Aufgabenstellung schon stand "[...] fällt es überraschender Weise nicht um, sondern beginnt um die Ausgangslage zu schwingen"
Deswegen sah ich das mit der Schwingung mit kleinem Winkel mal als "gegeben" an.
Naja immerhin ist die Gleichung mittlerweile von 20 Leuten oder so bestätigt^^
Das kann doch nicht wahr sein. Ich hab die Gleichung mittlerweile schon 20mal auf den Kopf gestellt ich finde einfach nichts was man noch vereinfachen/weglassen könnte...
Gruß
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Quant
Anmeldungsdatum: 18.05.2011
Beiträge: 92
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| Quant Verfasst am: 01. Jul 2011 07:49 Titel: |
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So Mitstreiter!
Um das ganze hier mal aufzulösen der Link zur analytischen Musterlösung der oben gestellten Aufgabe!
http://www.physics.harvard.edu/academics/undergrad/probweek/sol67.pdf
Da ich da jedoch nie im Leben drauf gekommen wäre (Vom scharfen Hinsehen und dem damit verbundenen "herauslesen" des Funktionsgraphen von  aus der DGL mal ganz zu schweigen) habe ich das ganze einfach mit Excel numerisch gelöst! Und wenn ich mal davon ausgehe, dass meine numerische Lösung genauer ist als die genäherte analytische Lösung bin ich bei einer Abweichung von ca. 20.3% auch ganz froh darüber
Trotzdem danke für eure tatkräftige Mithilfe und das "Gedankenmachen"!
Gruß
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