Beweis des Thevenin Theorems (Lineare Netzwerke)

DunkDream · Anmeldungsdatum: 19.06.2011 Beiträge: 10

Hallo Community,

eine Sache, die mich schon sehr lange beschäftigt, quasi schon seit ich das erste mal etwas von dem Netzwerkanalyseverfahren der sogennanten Ersatzspannungsquelle in der Elektrotechnik gehört habe, ist der Beweis des Thevenin Theorems.

Wikipedia sagt nur, dass es sich mit dem Superpositionsprinzip beweisen lässt. Aber wie genau?

Ich würde mich freuen wenn ihr mir helfen würdet.

Vielen Dank!

Beste Grüße,

DunkDream

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Im Prinzip beruht das einfach auf dem Überlagerungssatz: die Ausgangsspannung eines ausschließlich aus linearen Elementen aufgebauten Zweipols muss linear in den darin enthaltenen Spannungsquellen sein. Hilft dir das als Denkanstoß weiter?

DunkDream · Anmeldungsdatum: 19.06.2011 Beiträge: 10

Leider nur bedingt, da wir den Überlagerungssatz in der Schule nicht wirklich gut besprochen haben.

Du müsstest also deine Erklärung doch etwas ausweiten damit ich das ganze nachvollziehen kann.

Beste Grüße,

DunkDream

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Beweisskizze (wenn man nicht strenger Mathematiker ist, ist es wohl auch als "Beweis" zu akzeptieren):

Du hast ein Netzwerk aus inneren Spannungsquellen Ui und einer externen Spannung Ua. Aus Linearitätsgründen (lineares Netzwerk) gilt für den Ausgangsstrom Ia:

Warum? Du hast ja sicher schon erkannt, dass sich bei Netzwerkaufgaben lineare Gleichungssysteme ergeben, die man in der Matrixform

schreiben kann. Die obige Gleichung ist davon irgendeine Zeile.

Für den gedachten Ersatzzweipol hast du

a)

Der Koeffizentenvergleich führt auf

ka ist aber andererseits

Das gibt bereits die Meßvorschrift für Ri an: ersetze alle Spannungsquellen durch Kurzzschlüsse (Ui=0), lege eine Spannung Ua an und messe den Strom -Ia. Das Verhältnis ist der Ersatz-Innenwiderstand.

b)
Die Leerlaufspannung U0 bekommst du, indem du Ia=0 setzt:

oder, mit neuen Koeffizienten

Das kann man schreiben als (siehe Eulerscher Satz für homogene Funktionen, vielleicht aus der Thermodynamik bekannt):

In der Summe stehen die Einzelauswirkungen der einzelnen U_i auf Ua wenn jeweils die anderen U_i gleich Null gesetzt werden, was nichts anderes ist als der Überlagerungssatz.