brauche Hilfe für einfache DGL

xkris · Anmeldungsdatum: 06.10.2005 Beiträge: 281 Wohnort: LÜbeck

Hallo zusammen,

ich möchte gern den zeitlichen Verlauf der Spannung am Kondensator (siehe Skizze) beim Einschalten herleiten. Dafür habe ich folgende DGL aufgestellt:

Umgestellt erhalte ich

Als Lösung für die homogene DGL erhalte ich

mit

und

als Integrationskonstante.

So, und nun mein Problem. Um

zu bestimmen wähle ich einfach den Zeitpunkt

.

ist dann 0 und für

erhalte ich ebenfalls 0 und genau das verwirrt mich. Damit würde ja meine homogene Lösung verschwinden. Das kann aber nicht richtig sein grübelnd

Kann jemand behilflich sein? smile

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Deine Ausgangsgleichung enthält falsche Vorzeichen. Denn der Knotenpunktsatz lautet: Die Summe aller vorzeichenbehafteten Ströme an einem Knoten ist Null. Du hast aber sowohl den zufließenden Strom

als auch die wegfließenden Ströme

und

positiv gezählt. Das geht nicht.

xkris · Anmeldungsdatum: 06.10.2005 Beiträge: 281 Wohnort: LÜbeck

Formal sollte aber keine Rolle spielen. Ich addiere ja nur die einzelnen Ströme ohne zunächst deren Flussrichtung zu kennen. Diese ergibt sich durch die Rechnung.

Ansonsten müßte ich ja in jedem Netzwerk von vorherein die Flußrichtung kennen was u.U. aber schwierig werden könnte. In meinem Beispiel ist das freilich einfach aber das muss ja nicht immer so offensichtlich sein.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Generell:
In einem Netzwerk mit zunächst unbekannten Strömen können die Ströme in beliebiger Richtung eingetragen werden. Allerdings muss man sich dann konsequenterweise bei allen nachfolgenden Rechnungen auch dran halten.

Du hast in Deinem Beispiel zwar keine Stromrichtungen eingezeichnet, aber Durch die Vorgabe der Spannungsrichtungen in Verbindung mit Deiner Anwendung des ohmschen Gesetzes bzw. der Strom-/Spannungsbeziehung am Kondensator die Richtung aller drei Ströme von oben nach unten definiert.

Sonst hättest Du folgendermaßen vorgehen müssen:

Wenn Du den Knotenpunktsatz mit positivem Vorzeichen für alle Ströme anwenden willst, dann musst Du den Strom I1 durch R1 von oben nach unten, den Strom I2 durch R2 von unten nach oben und den Strom Ic durch C ebenfalls von unten nach oben eintragen. Dann würde der Knotenpunktsatz in der Tat lauten

Allerdings hast Du ja auch die Spannungen Ue und Ua bereits eingetragen. Bezüglich der so eingetragenen Spannungen würden die Strom-/Spannungsbeziehungen an den einzelnen Elementen so lauten

da Ua und I2 in entgegengesetzte Richtung weisen.

Aus demselben Grunde auch

Setz' das in den Knotenpunktsatz ein, und Du siehst, dass die Vorzeichen in Deiner ursprünglichen Gleichung für den zweiten und dritten Term falsch sind.

Fazit: Wenn Du die Mathematik ignorierst, kannst Du die Physik nicht ändern, sondern bekommst einfach nur ein falsches Ergebnis. Im Übrigen hast Du doch selbst schon gemerkt, dass mit Deinem Ansatz irgendwas nicht stimmen konnte.

Du magst jetzt argumentieren, dass Du ja Ua auch in entgegengesetzter Richtung hättest antragen können. Das kannst Du machen. Dann ist allerdings das so definierte Ua natürlich ein anderes als das ursprünglich gewollte (nämlich mit umgekehrtem Vorzeichen). Außerden hättest Du dann für den Strom I1 auch was anderes schreiben müssen, nämlich

Du kannst das ja damit mal ausprobieren. Da muss natürlich wieder dasselbe rauskommen (halt nur mit einem anderen Vorzeichen von Ua). Wie Du's auch drehst und wendest, Du wirst mit Deinen eigenen Vorgaben bei konsequenter Anwendung der mathematischen Grundregeln die Physik nicht ändern. Denn die ist im vorliegenden Fall durch die gegebene Schaltung vorgegeben. Du musst sie mit der Mathematik nur richtig beschreiben.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Du hast übrigens noch einen weiteren prinzipiellen Fehler gemacht. Auf den bin ich erst jetzt nach Durchlesen Deines Eröffnungsbeitrags gestoßen. Vorher war ich schon an dem Vorzeichenfehler hängengeblieben.

Du hast die Lösung der homogenen Dgl. hingeschrieben und dann aus der Anfangsbedingung das K bestimmen wollen. Das geht so nicht. Denn die Anfangsbedingung gilt nur für die komplette Lösung. Du musst also die Lösung der inhomogenen Lösung aufschreiben, also Lösung der homogenen Dgl. plus partikuläre Lösung, und dann das K bestimmen.

Ich erkenne jetzt erst, dass das Dein eigentliches Problem war. Nichtsdestoweniger war die Klärung mit den Vorzeichen genauso wichtig.

xkris · Anmeldungsdatum: 06.10.2005 Beiträge: 281 Wohnort: LÜbeck

Oooops, du hast Recht. Ich darf nicht die Vorzeichen der Störme ignorieren wenn ich sie für die Spannungen längst festgelegt habe Hammer

Und was die Lösung der DGL betrifft hast du natürlich auch Recht.

Danke für deine Hilfe smile